請先思考一下以下例題，然後按例題來顯示有關解說。
例1 俄國作家托爾斯泰，曾提出一個有趣的數學題：一組割草人去兩塊草地割草。大的一塊比小的一塊大一倍。上午全部人都在大的一塊草地割草，下午一半人留在大草地上，到傍晚時把草割完，另一半人去割小草地的草，到傍晚還剩下一塊。這一塊由一個割草人再用一天時間剛好割完。問這組割草人共有多少人？
俄國作家托爾斯泰，曾提出一個有趣的數學題：一組割草人去兩塊草地割草。大的一塊比小的一塊大一倍。上午全部人都在大的一塊草地割草，下午一半人留在大草地上，到傍晚時把草割完，另一半人去割小草地的草，到傍晚還剩下一塊。這一塊由一個割草人再用一天時間剛好割完。問這組割草人共有多少人？
解 我們把全組割草人設為「1」，把半天人數都轉換成一天人數來考慮，可畫出如下示意圖。 全組割半天組割一天 組割一天。 組割半天組割一天。 大草地所需人數應是小草地所需人數的2倍。用虛線再一次畫出小草地所需人數，從圖上就可以明顯看出： 全組人數的 (人)。 因此，全組人數（人）
我們把全組割草人設為「1」，把半天人數都轉換成一天人數來考慮，可畫出如下示意圖。
全組割半天組割一天
組割一天。
組割半天組割一天。
大草地所需人數應是小草地所需人數的2倍。用虛線再一次畫出小草地所需人數，從圖上就可以明顯看出：
全組人數的 (人)。
因此，全組人數（人）
答 這組割草人共有8人。
這組割草人共有8人。
記住 例1用圖解，畫大草地和小草地所有人數並不難，關鍵是兩個線段通過拼合，來顯示它們之間的數量關係。
例1用圖解，畫大草地和小草地所有人數並不難，關鍵是兩個線段通過拼合，來顯示它們之間的數量關係。
例2 幼兒園有3個班，甲班比乙班多4人，乙班比丙班多4人，老師給小孩分棗，甲班每個小孩比乙班每個小孩少分3個棗，乙班每個小孩比丙班每個小孩少分5個棗，結果甲班比乙班總共多分了3個棗，乙班比丙班總共多分了5個棗，問3個班總共分了多少個棗？
幼兒園有3個班，甲班比乙班多4人，乙班比丙班多4人，老師給小孩分棗，甲班每個小孩比乙班每個小孩少分3個棗，乙班每個小孩比丙班每個小孩少分5個棗，結果甲班比乙班總共多分了3個棗，乙班比丙班總共多分了5個棗，問3個班總共分了多少個棗？
分析 作長方形示意圖。 如圖所示，其中AB、 BD、 DG分別表示丙、乙、甲3班小孩的人數，GH、 DK、 BN分別表示甲、乙、丙3班小孩每人分的棗數，則BD＝AB＋4，DG＝BD＋4＝AB＋8，這裏CD＝EF＝FG＝4，BN＝DK＋5，DK＝HG＋3，這裏PN＝5，KY＝3。 這樣一來長方形DGHY，BDKP，ABNO的面積便分別表示甲、乙、丙3班小孩分得棗的總數。添輔助線後，從圖中可以看出：長方形ABRQ、 BCXR、DEJY的面積相等。根據題意，長方形EGHJ的面積等於長方形QRNO的面積加8（＝3＋5）。而長方形EGHJ的面積等於8×HG，長方形QRNO的面積等於AB×RN＝8×AB。即8×HG＝8×AB＋8，所以HG＝QA＝AB＋1。 另外長方形BDYR與長方形DFIY的面積相等，根據題意長方形FGHI的面積等於長方形RYKP的面積加3，而長方形FGHI的面積等於4×GH，長方形RYKP的面積等於3×RY，所以 4×GH＝3×RY＋3＝3×（BC＋4）＋3＝3×BC＋15，即4×（AB＋1）＝3×AB＋15，最後可求出AB＝11，HG＝12，有了這兩個數，便可求出總共分了多少個棗。
作長方形示意圖。
如圖所示，其中AB、 BD、 DG分別表示丙、乙、甲3班小孩的人數，GH、 DK、 BN分別表示甲、乙、丙3班小孩每人分的棗數，則BD＝AB＋4，DG＝BD＋4＝AB＋8，這裏CD＝EF＝FG＝4，BN＝DK＋5，DK＝HG＋3，這裏PN＝5，KY＝3。 這樣一來長方形DGHY，BDKP，ABNO的面積便分別表示甲、乙、丙3班小孩分得棗的總數。添輔助線後，從圖中可以看出：長方形ABRQ、 BCXR、DEJY的面積相等。根據題意，長方形EGHJ的面積等於長方形QRNO的面積加8（＝3＋5）。而長方形EGHJ的面積等於8×HG，長方形QRNO的面積等於AB×RN＝8×AB。即8×HG＝8×AB＋8，所以HG＝QA＝AB＋1。 另外長方形BDYR與長方形DFIY的面積相等，根據題意長方形FGHI的面積等於長方形RYKP的面積加3，而長方形FGHI的面積等於4×GH，長方形RYKP的面積等於3×RY，所以
4×GH＝3×RY＋3＝3×（BC＋4）＋3＝3×BC＋15，即4×（AB＋1）＝3×AB＋15，最後可求出AB＝11，HG＝12，有了這兩個數，便可求出總共分了多少個棗。
解 因為甲班比乙班總共多分了3個棗，乙班又比丙班總共多分了5個棗，所以長方形EGHJ的面積等於長方形QRNO的面積加8，長方形FGHI的面積等於長方形RYKP的面積加3，即8×HG＝8×AB＋8，4×GH＝3×BD＋3。 所以HG＝AB＋1，4×（AB＋1）＝3×（AB＋4）＋3，最後求得AB＝11，HG＝12。 所以 甲班總分棗數為：(11＋4＋4)×12＝228（個）， 乙班總分棗數為：（11＋4）×（12＋3）＝225（個）， 丙班總分棗數為：11×（12＋3＋5）＝220（個）， 3班共分棗數為：228＋225＋220＝673（個）。
因為甲班比乙班總共多分了3個棗，乙班又比丙班總共多分了5個棗，所以長方形EGHJ的面積等於長方形QRNO的面積加8，長方形FGHI的面積等於長方形RYKP的面積加3，即8×HG＝8×AB＋8，4×GH＝3×BD＋3。 所以HG＝AB＋1，4×（AB＋1）＝3×（AB＋4）＋3，最後求得AB＝11，HG＝12。 所以
甲班總分棗數為：(11＋4＋4)×12＝228（個），
乙班總分棗數為：（11＋4）×（12＋3）＝225（個），
丙班總分棗數為：11×（12＋3＋5）＝220（個），
3班共分棗數為：228＋225＋220＝673（個）。
答 3個班總共分棗673個。
3個班總共分棗673個。
例3 甲在南北路上，由南向北行進，乙在東西路上，由西向東行進，甲出發的地點在兩條路交叉點南1120米，乙在交叉點出發，兩人同時開始行進，4分鐘後，甲乙兩人所在的位置與交叉點等遠(這時甲仍在交叉點南)，再經過52分鐘後，兩人所在的位置又距交叉點等遠(這時甲在交叉口北)，問甲乙兩人一分鐘各行多少米？
甲在南北路上，由南向北行進，乙在東西路上，由西向東行進，甲出發的地點在兩條路交叉點南1120米，乙在交叉點出發，兩人同時開始行進，4分鐘後，甲乙兩人所在的位置與交叉點等遠(這時甲仍在交叉點南)，再經過52分鐘後，兩人所在的位置又距交叉點等遠(這時甲在交叉口北)，問甲乙兩人一分鐘各行多少米？
分析 只有通過作圖才能反映出題意。 作一個標有方向和甲乙兩人位置的十字交叉圖。 4分鐘後，甲乙的位置如圖所示，此時可以認為甲、乙兩人合走了1,120米，則兩人的速度和是1,120÷4＝280（米／分）。 再經過52分鐘，即（4＋52）分鐘後，甲乙的位置如圖，此時可以認為甲比乙多走了1,120米。因此，兩人的速度差是1,120÷（4＋52）＝20（米／分）。已知兩個數的和是280，差是20，求兩個數各是多少。
只有通過作圖才能反映出題意。
作一個標有方向和甲乙兩人位置的十字交叉圖。
4分鐘後，甲乙的位置如圖所示，此時可以認為甲、乙兩人合走了1,120米，則兩人的速度和是1,120÷4＝280（米／分）。
再經過52分鐘，即（4＋52）分鐘後，甲乙的位置如圖，此時可以認為甲比乙多走了1,120米。因此，兩人的速度差是1,120÷（4＋52）＝20（米／分）。已知兩個數的和是280，差是20，求兩個數各是多少。
解 因為1,120÷4＝280（米／分）……速度和； 1,120÷（4＋52）＝20（米／分）……速度差。 所以（280＋20）÷2＝150（米／分）……甲速度； （280－20）÷2＝130（米／分）……乙速度。
因為1,120÷4＝280（米／分）……速度和；
1,120÷（4＋52）＝20（米／分）……速度差。
所以（280＋20）÷2＝150（米／分）……甲速度；
（280－20）÷2＝130（米／分）……乙速度。
答 甲每分鐘行150米，乙每分鐘行130米。
甲每分鐘行150米，乙每分鐘行130米。
例4 甲乙兩人打乒乓球，誰先連勝頭兩局誰贏；如果沒有人連勝頭兩局，則誰先勝三局誰贏，打到決出輸贏為止，問一共有多少種可能的情況出現？
甲乙兩人打乒乓球，誰先連勝頭兩局誰贏；如果沒有人連勝頭兩局，則誰先勝三局誰贏，打到決出輸贏為止，問一共有多少種可能的情況出現？
解 我們用「樹圖」方法討論本題，如果甲先勝第一局則出現如圖所示的7種可能的情況。同理，乙先勝第一局也有7種可能的情況。所以一共有7＋7＝14種可能的情況出現。
我們用「樹圖」方法討論本題，如果甲先勝第一局則出現如圖所示的7種可能的情況。同理，乙先勝第一局也有7種可能的情況。所以一共有7＋7＝14種可能的情況出現。
例5 甲、乙兩人步行走完A村與B村的同一條路，分別需6小時、10小時。 (1) 如果甲、乙分別從A村、B村同時相向出發，幾小時相遇？ (2) 如果甲、乙都從A村出發去乙村，但乙先行兩小時，那麼甲幾小時追上乙？
甲、乙兩人步行走完A村與B村的同一條路，分別需6小時、10小時。
(1) 如果甲、乙分別從A村、B村同時相向出發，幾小時相遇？
(2) 如果甲、乙都從A村出發去乙村，但乙先行兩小時，那麼甲幾小時追上乙？
解 利用「行進斜線」求解我們的問題。 (1) 如圖。畫出甲從A到B與乙從B到A的行進斜線，兩斜線交於P點，過P點作AB的垂線交AB於C，則C點就是相遇地點而CP的長就表示相遇的時間，量得 (小時)。 (2) 如圖。畫出甲、乙都從A出發到B的行進斜線，其中乙始於0點終於10點，而甲始於2點終於8點(需6小時走完全程)，兩斜線交於Q點，垂線DQ的長約5小時，即乙出發5小時，或甲出發3小時甲追上了乙。
利用「行進斜線」求解我們的問題。
(1) 如圖。畫出甲從A到B與乙從B到A的行進斜線，兩斜線交於P點，過P點作AB的垂線交AB於C，則C點就是相遇地點而CP的長就表示相遇的時間，量得 (小時)。
(2) 如圖。畫出甲、乙都從A出發到B的行進斜線，其中乙始於0點終於10點，而甲始於2點終於8點(需6小時走完全程)，兩斜線交於Q點，垂線DQ的長約5小時，即乙出發5小時，或甲出發3小時甲追上了乙。
例6 施金哥豪斯問題：農場場長派出兩人步行去送信，一個向西去城裏郵局，另一個晚一段時間出發向東去村政府。兩人出發後，場長突然想起兩封信裝錯了信封，於是騎自行車去追趕他們兩人，把信調換過來後返回農場，場長推測兩個送信人走的速度都一樣，因此拿不定主意先追趕哪個人。 試問先追趕哪個人返回時間較早？ 如果場長沒有把信裝錯，而是兩個送信人匆促間把各自應帶的信忘記在農場了，現在要把信送給送信人，又該怎麼辦？
施金哥豪斯問題：農場場長派出兩人步行去送信，一個向西去城裏郵局，另一個晚一段時間出發向東去村政府。兩人出發後，場長突然想起兩封信裝錯了信封，於是騎自行車去追趕他們兩人，把信調換過來後返回農場，場長推測兩個送信人走的速度都一樣，因此拿不定主意先追趕哪個人。
試問先追趕哪個人返回時間較早？
如果場長沒有把信裝錯，而是兩個送信人匆促間把各自應帶的信忘記在農場了，現在要把信送給送信人，又該怎麼辦？
解 圖b中，水平軸表示道路向左去郵局，向右去村政府，垂直軸線表示時間。斜線表示行徑中間各點的時間，因此斜線的坡度反映了行進速度的大小，速度大坡度小(見圖a)，速度相等坡度相等。 a. b. 在圖b中OP表示去郵局的人的行進斜線，AQ是去村政府的人的行進斜線，由於兩人的速度相等，故坡度一樣。設場長是時間B去追趕送信人，先追早走的人的行進斜線為BCDEF(圖b中實線)，先追晚走的人的行進斜線為BGHJK(圖b中虛線)。由圖b可以看出K點時間較早，故應先追趕遲出發的送信人。 如果是後一個問題，需比較BCDR與BGHS，也是應先追遲出發者。
圖b中，水平軸表示道路向左去郵局，向右去村政府，垂直軸線表示時間。斜線表示行徑中間各點的時間，因此斜線的坡度反映了行進速度的大小，速度大坡度小(見圖a)，速度相等坡度相等。
a.
b.
在圖b中OP表示去郵局的人的行進斜線，AQ是去村政府的人的行進斜線，由於兩人的速度相等，故坡度一樣。設場長是時間B去追趕送信人，先追早走的人的行進斜線為BCDEF(圖b中實線)，先追晚走的人的行進斜線為BGHJK(圖b中虛線)。由圖b可以看出K點時間較早，故應先追趕遲出發的送信人。
如果是後一個問題，需比較BCDR與BGHS，也是應先追遲出發者。
例7 有甲、乙兩人年齡不相等，已知當甲像乙這麼大時，乙8歲；當乙像甲這麼大時，甲29歲。求今年甲、乙兩人的年齡各是多大？
有甲、乙兩人年齡不相等，已知當甲像乙這麼大時，乙8歲；當乙像甲這麼大時，甲29歲。求今年甲、乙兩人的年齡各是多大？
解 根據題意畫階梯形圖表示。 甲、乙年齡的關係如圖所示，從圖中可直觀看出，從8歲到29歲之間有3個甲、乙年齡差，而甲、乙年齡差是不變的，所以甲、乙年齡差為： （29－8）÷3＝7。 所以甲今年的年齡是 29－7＝22（歲）， 乙今年的年齡是 8＋7＝15（歲）。
根據題意畫階梯形圖表示。
甲、乙年齡的關係如圖所示，從圖中可直觀看出，從8歲到29歲之間有3個甲、乙年齡差，而甲、乙年齡差是不變的，所以甲、乙年齡差為：
（29－8）÷3＝7。
所以甲今年的年齡是
29－7＝22（歲），
乙今年的年齡是
8＋7＝15（歲）。
答 甲今年22歲，乙今年15歲。
甲今年22歲，乙今年15歲。
內容取材自上海華東師範大學出版社《奧數教程》，現代教育研究社及華東師範大學出版社聯合出版。版權所有，不得翻印。
