請先思考一下以下例題，然後按例題來顯示有關解說。
例1 四邊形ABCD是一個長方形，畫一條直線把這個長方形分成兩部分，並使這兩部分能夠拼成一個平行四邊形、三角形或梯形。這條直線應該怎麼畫？
四邊形ABCD是一個長方形，畫一條直線把這個長方形分成兩部分，並使這兩部分能夠拼成一個平行四邊形、三角形或梯形。這條直線應該怎麼畫？
解 如圖（1），可以過AB的中點E和C點作一條直線，將長方形截成一個直角三角形和一個直角梯形。拼法如圖（2）──（4）所示。 （1） （2） （3） （4） 也可以過AD的中點和C作一條直線，請讀者自行畫圖、拼圖。
如圖（1），可以過AB的中點E和C點作一條直線，將長方形截成一個直角三角形和一個直角梯形。拼法如圖（2）──（4）所示。
（1）
（2） （3） （4）
也可以過AD的中點和C作一條直線，請讀者自行畫圖、拼圖。
例2 如圖。用方格紙剪成面積是4的圖形，形狀只有七種。其中有哪幾種可以拼成面積是16的正方形？ （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7）
如圖。用方格紙剪成面積是4的圖形，形狀只有七種。其中有哪幾種可以拼成面積是16的正方形？
分析 面積是16的正方形，邊長是4。用圖形（5）、（7）顯然能拼成邊長為4的正方形。用圖形（1）、（2）、（6）也能拼成4×4＝16的正方形。拼法如圖所示。 經過試驗，用圖形（3）、（4）無法拼成4×4的正方形。因此可以拼成正方形的共有5種。
面積是16的正方形，邊長是4。用圖形（5）、（7）顯然能拼成邊長為4的正方形。用圖形（1）、（2）、（6）也能拼成4×4＝16的正方形。拼法如圖所示。
經過試驗，用圖形（3）、（4）無法拼成4×4的正方形。因此可以拼成正方形的共有5種。
例3 把一塊長90厘米、寬42厘米的長方形鐵板，剪成邊長都是整數厘米、面積都相等的小正方形鐵片，恰無剩餘，至少剪成多少塊？
把一塊長90厘米、寬42厘米的長方形鐵板，剪成邊長都是整數厘米、面積都相等的小正方形鐵片，恰無剩餘，至少剪成多少塊？
分析 如圖，假設這塊長方形已按照要求剪成小正方形鐵片。觀察圖形，可以發現小正方形的邊長既是42的約數，也是90的約數，即42與90的公約數。題中問「至少剪成多少塊?」即所剪成的小正方形塊數應盡可能的少，也就是小正方形的面積盡可能的大，從而邊長應盡可能大。
如圖，假設這塊長方形已按照要求剪成小正方形鐵片。觀察圖形，可以發現小正方形的邊長既是42的約數，也是90的約數，即42與90的公約數。題中問「至少剪成多少塊?」即所剪成的小正方形塊數應盡可能的少，也就是小正方形的面積盡可能的大，從而邊長應盡可能大。
解 42的約數有1，2，3，6，7，14，21，42。90的約數有1，2，3，5，6，9，10，15，…。它們的公約數有1，2，3，6。其中最大的公約數是6。應當用6作小正方形的邊長。小正方形的個數是 （42÷6）×（90÷6）＝7×15＝105。
42的約數有1，2，3，6，7，14，21，42。90的約數有1，2，3，5，6，9，10，15，…。它們的公約數有1，2，3，6。其中最大的公約數是6。應當用6作小正方形的邊長。小正方形的個數是
（42÷6）×（90÷6）＝7×15＝105。
答 至少要剪105塊。
至少要剪105塊。
例4 請你試用10根火柴擺出三個正方形，並思考一下，用16根火柴能擺出五個正方形嗎？
請你試用10根火柴擺出三個正方形，並思考一下，用16根火柴能擺出五個正方形嗎？
分析 一個正方形最少用4根火柴，三個正方形就要用12根。題目要求只用10根，也就是說這三個正方形一定有疊合之處，即：應該有兩處用一根火柴代替了兩條邊。同樣地，五個正方形應該用4×5＝20根火柴。題目要求用16根，即應該有四個疊合之處。擺出的圖形如圖所示。 （1） （2） 以上講述的是一些有趣的圖形拼補問題。相信小朋友們對圖形之間的內在聯繫已有了基本的認識。下面我們再用類似的方法介紹圖形的面積求法。例題中所涉及到的一些面積的基本公式，我們先來介紹一下。 （1）長方形的面積＝長×寬； （2）平行四邊形的面積＝底×高； （3）梯形的面積＝（上底＋下底）×高÷2； （4）三角形的面積＝（底×高）÷2。 （1） （2） （3） （4）
一個正方形最少用4根火柴，三個正方形就要用12根。題目要求只用10根，也就是說這三個正方形一定有疊合之處，即：應該有兩處用一根火柴代替了兩條邊。同樣地，五個正方形應該用4×5＝20根火柴。題目要求用16根，即應該有四個疊合之處。擺出的圖形如圖所示。
以上講述的是一些有趣的圖形拼補問題。相信小朋友們對圖形之間的內在聯繫已有了基本的認識。下面我們再用類似的方法介紹圖形的面積求法。例題中所涉及到的一些面積的基本公式，我們先來介紹一下。
（1）長方形的面積＝長×寬；
（2）平行四邊形的面積＝底×高；
（3）梯形的面積＝（上底＋下底）×高÷2；
（4）三角形的面積＝（底×高）÷2。
例5 如圖所示是一塊長方形耕地。它是由四塊小長方形組成，其中三塊地的面積是已知的，分別是15畝，18畝，30畝，問第四塊耕地的面積是多少畝？
如圖所示是一塊長方形耕地。它是由四塊小長方形組成，其中三塊地的面積是已知的，分別是15畝，18畝，30畝，問第四塊耕地的面積是多少畝？
分析 由圖中可以看出： 所求面積＝15畝地的長×30畝地的寬， 18畝地的面積＝15畝地的寬×30畝地的長， 所以就有： 所求面積×18畝地的面積 ＝15畝地的長×30畝地的寬×15畝地的寬×30畝地的長 ＝（15畝地的長×15畝地的寬）×（30畝地的長×30畝地的寬）＝15×30， 所求面積＝15×30÷18＝25（畝）。
由圖中可以看出：
所求面積＝15畝地的長×30畝地的寬，
18畝地的面積＝15畝地的寬×30畝地的長，
所以就有：
所求面積×18畝地的面積
＝15畝地的長×30畝地的寬×15畝地的寬×30畝地的長
＝（15畝地的長×15畝地的寬）×（30畝地的長×30畝地的寬）＝15×30，
所求面積＝15×30÷18＝25（畝）。
解 第四塊耕地的面積＝15×30÷18＝25（畝）。 從上面的例題，我們可以發現這樣一個性質：如圖，當一個長方形被分成四個小長方形時，那麼兩對對角長方形的面積乘積是相等的。即 面積A×面積C＝面積B×面積D。
第四塊耕地的面積＝15×30÷18＝25（畝）。
從上面的例題，我們可以發現這樣一個性質：如圖，當一個長方形被分成四個小長方形時，那麼兩對對角長方形的面積乘積是相等的。即
面積A×面積C＝面積B×面積D。
答 第四塊耕地的面積為25畝。
第四塊耕地的面積為25畝。
例6 圖中陰影部分的面積是96平方米，求其餘部分的面積。
圖中陰影部分的面積是96平方米，求其餘部分的面積。
分析 本題用割補的思路考慮。即把左邊的陰影直角三角形割下，補到右邊的陰影三角形旁，組成一個大的陰影直角三角形，它與空白直角三角形組成一個長方形。這個長方形的面積就等於平行四邊形的面積。由此可求出平行四邊形的底，也就是梯形的下底。於是可求出梯形的面積，從而就得出空白部分的面積。
本題用割補的思路考慮。即把左邊的陰影直角三角形割下，補到右邊的陰影三角形旁，組成一個大的陰影直角三角形，它與空白直角三角形組成一個長方形。這個長方形的面積就等於平行四邊形的面積。由此可求出平行四邊形的底，也就是梯形的下底。於是可求出梯形的面積，從而就得出空白部分的面積。
解 96×2÷8＝24（米）， （20＋24）×10÷2＋96＝220＋96＝316（平方米）。
96×2÷8＝24（米），
（20＋24）×10÷2＋96＝220＋96＝316（平方米）。
答 其餘部分的面積是316平方米。
其餘部分的面積是316平方米。
內容取材自上海華東師範大學出版社《奧數教程》，現代教育研究社及華東師範大學出版社聯合出版。版權所有，不得翻印。
