請先思考一下以下例題，然後按例題來顯示有關解說。
例1 如圖所示，求陰影部分的面積。
如圖所示，求陰影部分的面積。
分析 這是由兩個正方形為基本圖形組合而成的陰影部分，它的面積求法需要添加如圖所示的輔助線，這樣陰影部分處在大的直角梯形內部，只要把這個梯形面積求出之後減去三個三角形面積就可以了。
這是由兩個正方形為基本圖形組合而成的陰影部分，它的面積求法需要添加如圖所示的輔助線，這樣陰影部分處在大的直角梯形內部，只要把這個梯形面積求出之後減去三個三角形面積就可以了。
解 添加如圖所示的輔助線，得到一個大的梯形，這個梯形上底是4，下底是6＋4＝10，高是6＋4＝10，所以梯形面積 （4＋10）×10÷2＝14×10÷2＝70（面積單位）。 小三角形的底是4，高是4，它的面積是4×4÷2＝8（面積單位）；中個的三角形底是6，高是6，面積是6×6÷2＝18（面積單位）；大個直角三角形的兩條直角邊分別是4和4＋6＝10，它的面積是4×10÷2＝20（面積單位）。所以整個陰影部分面積是： 70－（8＋18＋20）＝70－46＝24（面積單位）。
添加如圖所示的輔助線，得到一個大的梯形，這個梯形上底是4，下底是6＋4＝10，高是6＋4＝10，所以梯形面積
（4＋10）×10÷2＝14×10÷2＝70（面積單位）。
小三角形的底是4，高是4，它的面積是4×4÷2＝8（面積單位）；中個的三角形底是6，高是6，面積是6×6÷2＝18（面積單位）；大個直角三角形的兩條直角邊分別是4和4＋6＝10，它的面積是4×10÷2＝20（面積單位）。所以整個陰影部分面積是：
70－（8＋18＋20）＝70－46＝24（面積單位）。
例2 圖中ABCD是直角梯形。其中AD＝12厘米，AB＝8厘米，BC＝15厘米，且△ADE、四邊形DEBF及△CDF的面積相等。三角形EBF（陰影部分）的面積是多少平方厘米？
圖中ABCD是直角梯形。其中AD＝12厘米，AB＝8厘米，BC＝15厘米，且△ADE、四邊形DEBF及△CDF的面積相等。三角形EBF（陰影部分）的面積是多少平方厘米？
分析 此題可根據已知條件，先求出FC和AE的長，再求得BF＝15－FC，BE＝8－AE，就可計算出△EBF的面積了。
此題可根據已知條件，先求出FC和AE的長，再求得BF＝15－FC，BE＝8－AE，就可計算出△EBF的面積了。
解 先求出（平方厘米）。於是 BE＝8－36×2÷12＝2（厘米）， BF＝15－36×2÷8＝6（厘米）， 所以（平方厘米）。
先求出（平方厘米）。於是
BE＝8－36×2÷12＝2（厘米），
BF＝15－36×2÷8＝6（厘米），
所以（平方厘米）。
例3 圖中正方形的面積為18.75平方厘米。在正方形內有兩條平行於對角線的線段把正方形平均分成面積相等三份。求圖中的平行線段長是多少厘米？
圖中正方形的面積為18.75平方厘米。在正方形內有兩條平行於對角線的線段把正方形平均分成面積相等三份。求圖中的平行線段長是多少厘米？
分析 可見兩條平行線正好把正方形分成兩個相等的直角三角形（即陰影部分）的底邊，根據已知條件可以求得三角形的面積，但無法知道它的底和高。如果用這樣的已知三角形拼出一個新的正方形來（如圖），問題就好解決了。
可見兩條平行線正好把正方形分成兩個相等的直角三角形（即陰影部分）的底邊，根據已知條件可以求得三角形的面積，但無法知道它的底和高。如果用這樣的已知三角形拼出一個新的正方形來（如圖），問題就好解決了。
解 18.75÷3×4＝25（平方厘米）。即得用陰影部分相等的等腰直角三角形拼成的新正方形（如圖）的面積是25（平方厘米）。 因為25＝5×5，所以圖中兩條平行線段各長5厘米。
18.75÷3×4＝25（平方厘米）。即得用陰影部分相等的等腰直角三角形拼成的新正方形（如圖）的面積是25（平方厘米）。
因為25＝5×5，所以圖中兩條平行線段各長5厘米。
例4 如圖所示，在長方形ABCD中，AB＝6厘米，BC＝10厘米，E、F分別為AD、CD中點，EG＝2FG。求陰影部分面積。
如圖所示，在長方形ABCD中，AB＝6厘米，BC＝10厘米，E、F分別為AD、CD中點，EG＝2FG。求陰影部分面積。
分析 雖然所求的圖形面積是一個三角形，但它的底和高均無法得到，因此直接應用公式計算出面積是不可能的，現考慮用三角形等積變形法求解。（注意下一講要詳細講三角形等積變形問題）。
雖然所求的圖形面積是一個三角形，但它的底和高均無法得到，因此直接應用公式計算出面積是不可能的，現考慮用三角形等積變形法求解。（注意下一講要詳細講三角形等積變形問題）。
解 連結BE，可知陰影部分面積等於三角形EBF面積的1／3。 而三角形EBF面積又等於長方形ABCD的面積減去三角形ABE、EFD、BCF的三個面積之和。於是 ＝10×6－[6×（10÷2）÷2＋10×（6÷2）÷2＋（10÷2）（6÷2）÷2]め ＝22.5（面積單位）。 所以陰影部分面積＝22.5÷3＝7.5（面積單位）。
連結BE，可知陰影部分面積等於三角形EBF面積的1／3。 而三角形EBF面積又等於長方形ABCD的面積減去三角形ABE、EFD、BCF的三個面積之和。於是
＝10×6－[6×（10÷2）÷2＋10×（6÷2）÷2＋（10÷2）（6÷2）÷2]め
＝22.5（面積單位）。
所以陰影部分面積＝22.5÷3＝7.5（面積單位）。
例5 如圖，正方形的面積是32平方厘米，求陰影部分的面積和周長。
如圖，正方形的面積是32平方厘米，求陰影部分的面積和周長。
分析 圖中陰影部分的面積，就是一個以正方形對角線為半徑的90°扇形與對角線為半徑的圓面積，分別減去它們重疊部分的面積的差之和。我們還可以把正方形看成是兩個等腰的直角三角形，它的底邊是正方形的對角線，高為對角線，已知兩個三角形的面積之和是32平方厘米，那麼可先求出對角線的長，問題即可迎刃而解。
圖中陰影部分的面積，就是一個以正方形對角線為半徑的90°扇形與對角線為半徑的圓面積，分別減去它們重疊部分的面積的差之和。我們還可以把正方形看成是兩個等腰的直角三角形，它的底邊是正方形的對角線，高為對角線，已知兩個三角形的面積之和是32平方厘米，那麼可先求出對角線的長，問題即可迎刃而解。
解 由於32×2＝64＝8×8，所以圖中正方形對角形的長為8厘米。因此，陰影部分的周長為 ＝25.12＋12.56＋16 ＝53.68（厘米）。 因為大扇形內，正方形左邊的空白部分，與正方形右邊圓內的陰影部分是對稱圖形，故有。於是得 陰影部分的面積 ＝18.24（平方厘米）。
由於32×2＝64＝8×8，所以圖中正方形對角形的長為8厘米。因此，陰影部分的周長為
＝25.12＋12.56＋16
＝53.68（厘米）。
因為大扇形內，正方形左邊的空白部分，與正方形右邊圓內的陰影部分是對稱圖形，故有。於是得
陰影部分的面積
＝18.24（平方厘米）。
例6 如圖，三角形AOB是等腰直角三角形，AO＝AB＝10厘米，半圓ADB的直徑為AB，以O為圓心的扇形OAC的半徑為AO＝10厘米，求圖中陰影部分面積。
如圖，三角形AOB是等腰直角三角形，AO＝AB＝10厘米，半圓ADB的直徑為AB，以O為圓心的扇形OAC的半徑為AO＝10厘米，求圖中陰影部分面積。
分析 陰影部分面積可看成是以AB為直徑的半圓的面積加上以O為圓心，AO為半徑的扇形OAC的面積減去直角三角形OAB的面積。
陰影部分面積可看成是以AB為直徑的半圓的面積加上以O為圓心，AO為半徑的扇形OAC的面積減去直角三角形OAB的面積。
解 以AB為直徑的半圓的面積 （面積單位）。 以O為圓心、AO為半徑的扇形OAC的面積是： （面積單位）。 等腰直角△OAB的面積是 10×10÷2＝50（面積單位）。 所以整個陰影部分面積是 （面積單位）。
以AB為直徑的半圓的面積
（面積單位）。
以O為圓心、AO為半徑的扇形OAC的面積是：
等腰直角△OAB的面積是
10×10÷2＝50（面積單位）。
所以整個陰影部分面積是
內容取材自上海華東師範大學出版社《奧數教程》，現代教育研究社及華東師範大學出版社聯合出版。版權所有，不得翻印。
