十二、  三角形的等積變形	選擇更多第三冊課題...... ---------------------------- 一、  小數的運算 二、  括號和分配律 三、  部分平均和全體平均 四、  平面圖形的周長 五、  環形道路上的行程問題 六、  週期問題 七、  雞兔同籠問題 八、  牛吃草問題 九、  邏輯推理問題 十、  畫示意圖 十一、  平面圖形的面積 十二、  三角形的等積變形 十三、  格點與面積 十四、  整數的整除 十五、  質數與合數 十六、  分解質因數 十七、  最大公約數與最小公倍數 十八、  抽屜原理 十九、  分類 二十、  換一個角度考慮問題 二十一、  定義新運算 二十二、  十進制和二進制 ---------------------------- 綜合測試題（一） 綜合測試題（二）

二、例題精講   例題： 例1 例2 例3 例4 例5 例6   請先思考一下以下例題，然後按例題來顯示有關解說。 例1 用三種不同的方法把任意一個三角形分成四個面積相等的三角形。 解 方法一：如圖（a），將BC四等分，連AD、AE、AF，則△ABD、△ADE、△AEF和△AFC等積。 （a） 方法二：如圖（b），先將BC兩等分，連AD，得到兩個等積的三角形△ADC和△ABD，再取AD中點E，連BE，CE，可將這兩個等積三角形分別分成兩個等積的三角形。 （b） 方法三：先將BC四等分，即，連AD，再將AD三等分，即，所得的四個三角形△ABD、△CFD、△CEF和△CEA等積。見圖（c） （c） 例2 如圖，FB，AD，EC相互平行，△ABC的面積為1，求△FDE的面積。 解 因為FB∥AD，所以 。 同理，。 又因為FB∥EC，所以 。 而 =2。 所以，△FDE的面積為2 例3 如圖，已知三角形ABC面積為1，延長AB至D，使BD＝AB，延長BC至E，使CE＝2BC，延長CA至F，使AF＝3AC，求三角形DEF的面積。 分析 本題無法直接求出三角形DEF的面積。應找到與三角形ABC面積之間的關係。根據BD＝AB，CE＝2BC，AF＝3AC發現，可以分別以BD、CE、AF為底，與三角形ABC作同高三角形。通過觀察容易想到連結CD、AE，如圖，這樣可通過各個三角形與小三角形ABC面積之間的關係，求得大三角形DEF的面積。 解 連結CD、AE，如圖。因為△ABC與△BDC共頂點C，且AB＝BD，所以 。 因為△ABC與△ACE共頂點A，且CE＝2BC，所以 ＝2×1 ＝2。 因為△ACE與△AEF共頂點E，且AF＝3AC，所以 ＝3×2 ＝6。 因為△ADC與△AFD共頂點D，且AF＝3AC，所以 ＝3×（1＋1） ＝6。 因為△BDC與△CDE共頂點D，且CE＝2BC，所以 ＝2×1 ＝2。 因此 ＝18。 說明 本題的輔助線不止限於連線CD和AE，還可以連結BF和CD（或AE），請同學們自己試著做一做。 例4 如圖，已知正方形ABCD的邊長為4。 E、P、F分別是AD，CE，BP的中點，求△DBF的面積。 分析 因為△DBF的面積不易直接利用面積公式求出，故需間接計算。注意到F為BP的中點這一條件，因而一旦將PD連結起來就可看出△DBF的面積正好是△DBP面積的一半，而△DBP的面積又可通過從△DBC的面積中減去△DPC和△PBC的面積而求得。 解 如圖連結PD和BE。 因為 所以 因為 E是AD的中點，所以 又因為P是CE的中點，所以 從而 所以 △DBF的面積為1。 說明 利用同底等高、同高等底的三角形面積相等進行等積代換是面積計算的一種重要方法。善於從複雜的圖形中分離出以上的基本圖形是解決這類問題的關鍵。有時這種工作是連續而又複雜的。 例5 如圖，已知梯形ABCD的面積為5，DA與EB平行，ED與CA平行，求四邊形EDAC的面積。 分析 此題僅知道一個四邊形的面積，而需求的卻是另一個四邊形的面積。因而需設法找出這兩個四邊形之間的聯繫。通過觀察可以發現：△CDA是這個四邊形的公共部分，所以找出△EDC與△CAB之間的關係是解答此題的關鍵。由題中的兩組平行線以及梯形上下底平行這三組平行的條件，我們可以進行一系列的等積代換。 解 如圖連接EA，DB， 由ED∥CA，得， 由DA∥EB，得， 由DC∥AB，得， 綜上得：。 所以 例6 如圖，在△ABC中，已知M，N分別在AC，BC上，BM與AN相交於O。若△AOM，△ABO和△OBN的面積分別為3，2，1。 求△MNC的面積。 解 因為 ， 所以 。 設 ，則由 ， 得 ， 即 解得 。 所以△MNC的面積為22.5。 <- 一、知識要點和基本方法 三、練習題Ａ組 ->

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