請先思考一下以下例題，然後按例題來顯示有關解說。
例1 被人譽為「數學王子」的高斯在年僅10歲時，就以一種非常巧妙的方法很快求出1＋2＋3＋…＋99＋100的結果。高斯是怎樣求出這個和的呢？下面我們就要介紹這種求和方法。 求和： 1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝？
被人譽為「數學王子」的高斯在年僅10歲時，就以一種非常巧妙的方法很快求出1＋2＋3＋…＋99＋100的結果。高斯是怎樣求出這個和的呢？下面我們就要介紹這種求和方法。
求和：
1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝？
分析 只有8個數相加，可以逐步地求出結果，但我們現在不用這種方法。 仔細觀察一下，就會知道1，2，3，…，8是一個首項是1，公差也是1的等差數列，而且 1＋8＝9， 2＋7＝9， 3＋6＝9， 4＋5＝9。 把1到8採用上述方式兩兩配對相加，共配成4對，每一對的和都是9，從而可以得到要求的結果。
只有8個數相加，可以逐步地求出結果，但我們現在不用這種方法。
仔細觀察一下，就會知道1，2，3，…，8是一個首項是1，公差也是1的等差數列，而且
1＋8＝9，
2＋7＝9，
3＋6＝9，
4＋5＝9。
把1到8採用上述方式兩兩配對相加，共配成4對，每一對的和都是9，從而可以得到要求的結果。
解 1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8 ＝9×4＝36。
1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8
＝9×4＝36。
例2 計算： 1＋2＋3＋…＋98＋99＋100。
計算：
1＋2＋3＋…＋98＋99＋100。
分析 我們仍可模仿例1的方法來求和。 1＋100＝101， 2＋99＝101， 3＋98＝101， ………………， 50＋51＝101。 把1到100用上述方法兩兩配對，共可以配成50對。
我們仍可模仿例1的方法來求和。
1＋100＝101，
2＋99＝101，
3＋98＝101，
………………，
50＋51＝101。
把1到100用上述方法兩兩配對，共可以配成50對。
解 1＋2＋…＋99＋100 ＝101×50＝5,050。 上面兩例中所用的方法，就是高斯小時候的做法。兩例中所出現的兩列數，都是等差數列。對於求等差數列的和，我們都可以用這樣的配對方法來求。
1＋2＋…＋99＋100
＝101×50＝5,050。
上面兩例中所用的方法，就是高斯小時候的做法。兩例中所出現的兩列數，都是等差數列。對於求等差數列的和，我們都可以用這樣的配對方法來求。
例3 計算： （1）8＋9＋10＋11＋12＋13； （2）2＋5＋8＋11＋14＋17＋20； （3）4＋6＋8＋10＋12＋14＋16； （4）2＋3＋4＋5＋6＋7＋8。
（1）8＋9＋10＋11＋12＋13；
（2）2＋5＋8＋11＋14＋17＋20；
（3）4＋6＋8＋10＋12＋14＋16；
（4）2＋3＋4＋5＋6＋7＋8。
解 （1）原式＝（8＋13）＋（9＋12）＋（10＋11） ＝21×3＝63。 （2）如果仍用上面的方法配對，那麼就會剩下11沒有數與它相配。設S＝2＋5＋8＋11＋14＋17＋20。我們將加數的順序倒過來再寫一遍，然後再與S相加，得到 2×S＝（2＋5＋8＋…＋20）＋（20＋17＋14＋…＋2） 從而 S＝22×7÷2＝77。 （3）仍採用（2）中的方法可以得到 原式＝（4＋16）×7÷2＝20×7÷2＝70。 （4）原式＝（2＋8）×7÷2＝10×7÷2＝35。 例3仍用配對的方法來求等差數列的和，只不過將例2的方法稍作了改進。實際上，用這種方法可以得到，對任何等差數列，我們有 等差數列的和＝（首項＋末項）×項數÷2。
（1）原式＝（8＋13）＋（9＋12）＋（10＋11）
＝21×3＝63。
（2）如果仍用上面的方法配對，那麼就會剩下11沒有數與它相配。設S＝2＋5＋8＋11＋14＋17＋20。我們將加數的順序倒過來再寫一遍，然後再與S相加，得到
2×S＝（2＋5＋8＋…＋20）＋（20＋17＋14＋…＋2）
從而 S＝22×7÷2＝77。
（3）仍採用（2）中的方法可以得到
原式＝（4＋16）×7÷2＝20×7÷2＝70。
（4）原式＝（2＋8）×7÷2＝10×7÷2＝35。
例3仍用配對的方法來求等差數列的和，只不過將例2的方法稍作了改進。實際上，用這種方法可以得到，對任何等差數列，我們有
等差數列的和＝（首項＋末項）×項數÷2。
例4 求出下面各數列的和： （1）9，13，17，21，25，29； （2）1，3，5，7，…，95，97，99； （3）求出從0到100之內所有3的倍數的和。
求出下面各數列的和：
（1）9，13，17，21，25，29；
（2）1，3，5，7，…，95，97，99；
（3）求出從0到100之內所有3的倍數的和。
解 （1）這是首項為9，公差為4的等差數列，所以這個等差數列的和為 （9＋29）×6÷2＝114。 （2）這是首項是1，末項是99，公差是2的等差數列。如果項數是多少知道了，那麼就很容易求出和來。 第2項比第1項多2，第3項比第1項多2×2＝4，第4項比第1項多3×2＝6，…，從而我們可以得到 末項＝首項＋（項數－1）×公差。 反過來，可以得到 項數＝（末項－首項）÷公差＋1。 所以這個等差數列的項數為 （99－1）÷2＋1＝98÷2＋1＝50， 從而等差數列的和為 （1＋99）×50÷2＝100×50÷2＝2,500。 （3）0到100內3的倍數為 0，3，6，9，12，…，96，99。 這是首項為0，公差為3的等差數列。我們用（2）的方法求出它的項數為 （99－0）÷3＋1＝34。 所以等差數列的和為 （0＋99）×34÷2＝99×17＝1,683。
（1）這是首項為9，公差為4的等差數列，所以這個等差數列的和為
（9＋29）×6÷2＝114。
（2）這是首項是1，末項是99，公差是2的等差數列。如果項數是多少知道了，那麼就很容易求出和來。
第2項比第1項多2，第3項比第1項多2×2＝4，第4項比第1項多3×2＝6，…，從而我們可以得到
末項＝首項＋（項數－1）×公差。
反過來，可以得到
項數＝（末項－首項）÷公差＋1。
所以這個等差數列的項數為
（99－1）÷2＋1＝98÷2＋1＝50，
從而等差數列的和為
（1＋99）×50÷2＝100×50÷2＝2,500。
（3）0到100內3的倍數為
0，3，6，9，12，…，96，99。
這是首項為0，公差為3的等差數列。我們用（2）的方法求出它的項數為
（99－0）÷3＋1＝34。
所以等差數列的和為
（0＋99）×34÷2＝99×17＝1,683。
例5 小紅讀一本長篇小說，第一天讀了30頁。從第二天起，每天讀的頁數都比前一天多4頁，最後一天讀了70頁，剛好讀完。問：這本小說共有多少頁？
小紅讀一本長篇小說，第一天讀了30頁。從第二天起，每天讀的頁數都比前一天多4頁，最後一天讀了70頁，剛好讀完。問：這本小說共有多少頁？
解 每天看的頁數組成等差數列，公差是4，首項是30，末項是70。要求這本小說共多少頁，應先求出小紅總共看了多少天。 天數（項數）＝（末項－首項）÷公差＋1 ＝（70－30）÷4＋1＝11， 總頁數＝（30＋70）×11÷2 ＝100×11÷2＝550。 這本小說共有550頁。
每天看的頁數組成等差數列，公差是4，首項是30，末項是70。要求這本小說共多少頁，應先求出小紅總共看了多少天。
天數（項數）＝（末項－首項）÷公差＋1
＝（70－30）÷4＋1＝11，
總頁數＝（30＋70）×11÷2
＝100×11÷2＝550。
這本小說共有550頁。
例6 計算： （1）1,999－1,998＋1,997－1,996＋…＋3－2＋1； （2）260－1－2－3－4－…－19－20。
（1）1,999－1,998＋1,997－1,996＋…＋3－2＋1；
（2）260－1－2－3－4－…－19－20。
解 （1）方法一： 原式＝（1＋3＋5＋…＋1,999）－（2＋4＋6＋…＋1,998）。 第一個括號內共有1,000項。第二個括號內共有999項。所以，第一個括號內的和為（1＋1,999）×1,000÷2＝1,000,000， 第二個括號內的和為 （2＋1998）×999÷2＝999,000， 從而 原式＝1,000,000－999,000＝1,000。 方法二： 原式＝（1,999－1,998）＋（1,997－1,996）＋…＋（3－2）＋1 ＝1×1,000＝1,000。 顯然方法二簡便得多。因此不可一味死套公式，應當根據問題的特點，靈活運用所學的知識。 （2）原式＝260－（1＋2＋3＋…＋20） ＝260－（1＋20）×20÷2 ＝260－210＝50。
（1）方法一：
原式＝（1＋3＋5＋…＋1,999）－（2＋4＋6＋…＋1,998）。
第一個括號內共有1,000項。第二個括號內共有999項。所以，第一個括號內的和為（1＋1,999）×1,000÷2＝1,000,000，
第二個括號內的和為
（2＋1998）×999÷2＝999,000，
從而
原式＝1,000,000－999,000＝1,000。
方法二：
原式＝（1,999－1,998）＋（1,997－1,996）＋…＋（3－2）＋1
＝1×1,000＝1,000。
顯然方法二簡便得多。因此不可一味死套公式，應當根據問題的特點，靈活運用所學的知識。
（2）原式＝260－（1＋2＋3＋…＋20）
＝260－（1＋20）×20÷2
＝260－210＝50。
內容取材自上海華東師範大學出版社《奧數教程》，現代教育研究社及華東師範大學出版社聯合出版。版權所有，不得翻印。
