請先思考一下以下例題，然後按例題來顯示有關解說。
例1 將1∼9這九個數填入圖中，使它成為一個三階幻方。
將1∼9這九個數填入圖中，使它成為一個三階幻方。
分析 1＋2＋…＋8＋9＝45。所以，每行、每列、每條對角線的三個數的和是15（＝45÷3）。 從1到9中，三個不同的數相加等於15，只可能是 9＋5＋1， 9＋4＋2， 8＋6＋1， 8＋5＋2， 8＋4＋3， 7＋6＋2， 7＋5＋3， 6＋5＋4。 這八個式子。其中只有5出現四次，因此5一定在中心。在式子中出現三次的只有8、6、 4、2這四個數。因此這四個數應當在四個角上。從而將幻方完成，如圖所示。
1＋2＋…＋8＋9＝45。所以，每行、每列、每條對角線的三個數的和是15（＝45÷3）。
從1到9中，三個不同的數相加等於15，只可能是
9＋5＋1， 9＋4＋2，
8＋6＋1， 8＋5＋2，
8＋4＋3， 7＋6＋2，
7＋5＋3， 6＋5＋4。
這八個式子。其中只有5出現四次，因此5一定在中心。在式子中出現三次的只有8、6、 4、2這四個數。因此這四個數應當在四個角上。從而將幻方完成，如圖所示。
說明 除了圖中所示的答案外，如果8、6、4、2在四個角上的位置排得不同，9、7、3、1的位置也相應有所不同，那麼還可以得到其他形式的三階幻方。我們把這些只是形式不同而實質相同的結果看作是一個解，只要寫出其中一個作為答案就可以了。
除了圖中所示的答案外，如果8、6、4、2在四個角上的位置排得不同，9、7、3、1的位置也相應有所不同，那麼還可以得到其他形式的三階幻方。我們把這些只是形式不同而實質相同的結果看作是一個解，只要寫出其中一個作為答案就可以了。
例2 用0到8這九個數構造一個三階幻方。
用0到8這九個數構造一個三階幻方。
解 將圖（1）中每個數減去1便得到由0∼8這九個數構成的三階幻方，如圖（2）： （1） （2）
將圖（1）中每個數減去1便得到由0∼8這九個數構成的三階幻方，如圖（2）：
（1）
（2）
例3 把1∼6這六個數字分別填入圖中的六個圈內，使得每個正方形頂點上的數的和都為13。
把1∼6這六個數字分別填入圖中的六個圈內，使得每個正方形頂點上的數的和都為13。
分析 從1到6這六個數的和是21。而兩個正方形8個頂點上的數之和是26（＝13×2），比六個數的總和大5。這是因為中間兩個圈內的數，都被算了兩次，所以，多出來的5就是中間兩個圈內的數的和。
從1到6這六個數的和是21。而兩個正方形8個頂點上的數之和是26（＝13×2），比六個數的總和大5。這是因為中間兩個圈內的數，都被算了兩次，所以，多出來的5就是中間兩個圈內的數的和。
解 在1到6六個數中，兩個數的和為5，只可能是1＋4、2＋3。當中間兩個圈內填1與4時，剩下的四個數，3與5、2與6配對即可以滿足條件。當中間兩個圈內填2與3時，剩下的四個數無法組成和相等的兩對，因而無法滿足條件。所以，得到如下圖的填法：
在1到6六個數中，兩個數的和為5，只可能是1＋4、2＋3。當中間兩個圈內填1與4時，剩下的四個數，3與5、2與6配對即可以滿足條件。當中間兩個圈內填2與3時，剩下的四個數無法組成和相等的兩對，因而無法滿足條件。所以，得到如下圖的填法：
例4 將1∼6這六個數填入圖中的六個圓圈內，使得每條邊上的三個數的和相等。
將1∼6這六個數填入圖中的六個圓圈內，使得每條邊上的三個數的和相等。
解 如果三個頂點上的數確定了下來，那麼其它的幾個也就定了下來。用字母ａ、ｂ、ｃ表示三個頂點上的數。因為三條邊的三個數字和都相等，所以三條邊上的三個數的總和應該是3的倍數。即 1＋2＋…＋6＋ａ＋ｂ＋ｃ 是3的倍數。因為1＋2＋…＋6＝21是3的倍數，所以ａ＋ｂ＋ｃ是3的倍數。又因為 ， 所以，ａ＋ｂ＋ｃ可能是6、9、12、15。經過嘗試可以得出如圖的四個解。 （ａ）（ｂ）（ｃ） （ｄ）
如果三個頂點上的數確定了下來，那麼其它的幾個也就定了下來。用字母ａ、ｂ、ｃ表示三個頂點上的數。因為三條邊的三個數字和都相等，所以三條邊上的三個數的總和應該是3的倍數。即
1＋2＋…＋6＋ａ＋ｂ＋ｃ
是3的倍數。因為1＋2＋…＋6＝21是3的倍數，所以ａ＋ｂ＋ｃ是3的倍數。又因為
，
所以，ａ＋ｂ＋ｃ可能是6、9、12、15。經過嘗試可以得出如圖的四個解。
（ａ）（ｂ）（ｃ）
（ｄ）
例5 將1到7這七個數，填入圖中的圈中，使得每條線上的三個數的和相等。
將1到7這七個數，填入圖中的圈中，使得每條線上的三個數的和相等。
解 我們先填中間的那個圈。設中間的那個數為ａ，由三條線上的三個數的和相等可以得到 1＋2＋…＋6＋7＋ａ＋ａ 是3的倍數。即28＋2×ａ是3的倍數，所以ａ只能是1、4、7。 ａ＝1時，每條線上三個數的和是 （28＋2×1）÷3＝10。 ａ＝4時，每條線上三個數的和是 （28＋2×4）÷3＝12。 ａ＝7時，每條線上三個數的和是 （28＋2×7）÷3＝14。 從而我們可以得到如圖的三個解： （ａ）（ｂ） （ｃ）
我們先填中間的那個圈。設中間的那個數為ａ，由三條線上的三個數的和相等可以得到
1＋2＋…＋6＋7＋ａ＋ａ
是3的倍數。即28＋2×ａ是3的倍數，所以ａ只能是1、4、7。
ａ＝1時，每條線上三個數的和是
（28＋2×1）÷3＝10。
ａ＝4時，每條線上三個數的和是
（28＋2×4）÷3＝12。
ａ＝7時，每條線上三個數的和是
（28＋2×7）÷3＝14。
從而我們可以得到如圖的三個解：
（ａ）（ｂ）
（ｃ）
例6 將1到9這九個數填入圖中，使得從中心出發的每條線上的三個數的和相等。
將1到9這九個數填入圖中，使得從中心出發的每條線上的三個數的和相等。
解 先來確定中心的數。設這個數為ａ，則4條線上12個數（中心的數出現4次，其餘的數各出現一次）的和 1＋2＋…＋9＋ａ＋ａ＋ａ 是4的倍數。即45＋3×ａ是4的倍數。所以ａ只可能是1、5、9。 （1）當ａ＝1時，2與9、4與7、8與3、5與6兩兩搭配填入同一條線的兩個圈內即可。 （2）當ａ＝5時，1與9、2與8、3與7、4與6搭配。 （3）當ａ＝9時，1與8、2與7、3與6、4與5搭配。 這樣得到如圖的三個解： （ａ）（ｂ） （ｃ）
先來確定中心的數。設這個數為ａ，則4條線上12個數（中心的數出現4次，其餘的數各出現一次）的和
1＋2＋…＋9＋ａ＋ａ＋ａ
是4的倍數。即45＋3×ａ是4的倍數。所以ａ只可能是1、5、9。
（1）當ａ＝1時，2與9、4與7、8與3、5與6兩兩搭配填入同一條線的兩個圈內即可。
（2）當ａ＝5時，1與9、2與8、3與7、4與6搭配。
（3）當ａ＝9時，1與8、2與7、3與6、4與5搭配。
這樣得到如圖的三個解：
例7 將1到5這五個數填入圖中，使得圓周上四個數的和與每條直線上的三個數的和都相等。
將1到5這五個數填入圖中，使得圓周上四個數的和與每條直線上的三個數的和都相等。
解 設處於中心圈內的數是ａ。因為豎線上的三個數的和等於圓周上的四個數的和，所以ａ等於它兩旁的兩個數的和。同理，ａ等於位於它上、下的兩個數的和。從而ａ是最大的數5。其餘四個數，2與3搭配，1與4搭配，寫在同一條線上。得到的解如圖。
設處於中心圈內的數是ａ。因為豎線上的三個數的和等於圓周上的四個數的和，所以ａ等於它兩旁的兩個數的和。同理，ａ等於位於它上、下的兩個數的和。從而ａ是最大的數5。其餘四個數，2與3搭配，1與4搭配，寫在同一條線上。得到的解如圖。
內容取材自上海華東師範大學出版社《奧數教程》，現代教育研究社及華東師範大學出版社聯合出版。版權所有，不得翻印。
