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二、例題精講
請先思考一下以下例題，然後按例題來顯示有關解說。
例1 
在運算過程中，如果出現較多的「0」，運算就比較方便。請看下面算式：
2×5＝10，
25×4＝100，
125×8＝1,000，
125×4＝500，
625×8＝5,000。
這些算式的結果中都出現了「0」。我們常常利用這些式子，應當將它們熟記在心中。
計算：
（1）125×25×4；
（2）13×25×125×4×8；
（3）25×64×625；
（4）125×144×25；
分析
仔細觀察可以發現：第（1）題先將25與4結合得出100，即可簡便運算；第（2）題將25與4結合、125與8結合，兩個結果分別是100與1,000；第（3）題需要先將64分解成4×2×8，再將25與4、625與8結合；第（4）題先將144分解成8×9×2，再分別將125與8、25與2結合。
解
（1）原式＝125×（25×4）＝125×100＝12,500。
（2）原式＝13×（25×4）×（125×8）
＝13×100×1,000
＝1,300,000。
（3）原式＝25×（4×2×8）×625
＝（25×4）×2×（8×625）
＝100×2×5,000
＝1,000,000。
（4）原式＝125×（8×9×2）×25
＝（125×8）×9×（2×25）
＝1,000×9×50
＝450,000。
在進行乘除混合運算時，靈活運用以下運算性質也可以巧算：
（1）ａ÷ｂ÷ｃ＝ａ÷（ｂ×ｃ）＝ａ÷ｃ÷ｂ；
即：一個數除以另一個數所得的商再除以第三個數，等於第一個數除以二、 三兩數的積；也等於第一個數除以第三個數所得的商再除以第二個數。
（2）ａ×ｂ÷ｃ＝ａ×（ｂ÷ｃ）＝（ａ÷ｃ）×ｂ；
即：兩個數的積除以第三個數，等於其中任意一個乘數除以第三個數，再與另一個數相乘。
（3）ａ÷ｂ×ｃ＝ａ÷（ｂ÷ｃ）；
即：第一個數除以第二個數的商，再乘以第三個數，可以先求出第二個數除以第三個數的商，再用第一個數除以這個商。
以上（1）、（2）、（3）式，我們可以用「添括號」或「去括號」的方法總結一下：在乘除法混合運算中，如果括號前面是乘號，那麼括到括號洈犒B算符號不變；如果括號前面是除號，那麼括到括號洈犒B算符號必須改變，乘號變除號，除號變乘號。去括號與添括號類似。
（4）當ｃ≠0時，
ａ÷ｂ＝（ａ×ｃ）÷（ｂ×ｃ）＝（ａ÷ｃ）÷（ｂ÷ｃ）。
即：如果被除數與除數同時乘以或除以同一個不為零的數，那麼商不改變。
例3
巧算下列各題：
（1）273×14＋273×86；
（2）455÷13＋3,445÷13；
（3）8×（72×125＋28×125）；
（4）（110＋15－9）×8；
（5）13,600×27＋136×8,300－136,000。
解
（1）原式＝273×（14＋86）＝273×100＝27,300。
（2）原式＝（455＋3,445）÷13＝3,900÷13＝300。
（3）原式＝8×[125×（72＋28）]＝8×[125×100]
＝（8×125）×100
＝100,000。
（4）原式＝（125－9）×8＝125×8－9×8
＝1,000－72＝928。
（5）原式＝13,600×27＋13,600×83－13,600×10
＝13,600×（27＋83－10）＝13,600×100
＝1,360,000。
從前面的知識可以知道，在運算中應盡可能使中間結果末尾多一些「0」。因此，在有些情況下，我們需要湊些「0」。例如，「9」就可以用（10－1）來代替；99、997就可以分別用（100－1）、（1,000－3）來代替。同樣的，101、1,002也可以用（100＋1）、（1,000＋2）來代替。
例4
巧算下列各題：
（1）76×99； （2）999×7；
（3）126×72； （4）307×293。
分析
第（1）、（2）兩小題中出現的99與999，可以分別用（100－1）與（1,000－1）代替；第（3）題如果將126用（100＋26）代替或將72用（100－28）代替，運算仍很複雜。仔細觀察一下，不難發現126可以用（125＋1）來代替，而72可以分解成8×9，再運用分配律就可以快速得出結果；第（4）題307離300較近，可以將它寫成（300＋7）；同樣地，293也可用（300－7）代替。
解
（1）原式＝76×（100－1）＝76×100－76＝7,524。
（2）原式＝999×7＝（1,000－1）×7＝7,000－7
＝6,993。
（3）原式＝126×72＝（125＋1）×72＝125×72＋72
＝125×8×9＋72＝9,000＋72＝9,072。
（4）原式＝307×293＝（300＋7）×（300－7）
＝300×300＋300×7－300×7－7×7
＝300×300－7×7＝90,000－49
＝89,951。
從例4的第（4）題可以看出 ；即兩個數的和乘以這兩個數的差等於這兩個數的平方差。有的同學自然會問：這是巧合嗎？當然不是。有興趣的小朋友不妨試一下：任意兩個數的和乘以這兩個數的差，結果是不是這兩個數的平方差。實際上，這就是平方差公式：
 。
在運算時，也可以利用這個公式巧算。
例6
計算： 。
分析
直接按照從左到右的順序來計算這些平方的和或差是很麻煩的。注意原式是平方差 的和。因此，可以先計算這些平方差，即：
 ，
 ，
………………………………………………………，
 。
經過這一變化後，只要計算50＋49＋…＋2＋1的值。在第三講中我們已經介紹過這種問題的解法。
解
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內容取材自上海華東師範大學出版社《奧數教程》，現代教育研究社及華東師範大學出版社聯合出版。版權所有，不得翻印。
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