請先思考一下以下例題，然後按例題來顯示有關解說。
例1 甲、乙兩人從A、B兩地步行相向而行，甲每小時走3公里，乙每小時走2公里，兩人相遇時距離中點有3公里，問A、B兩地相距多遠？
甲、乙兩人從A、B兩地步行相向而行，甲每小時走3公里，乙每小時走2公里，兩人相遇時距離中點有3公里，問A、B兩地相距多遠？
分析 作圖，尋找數量關係。因為甲的速度比乙快，所以相遇的地點靠近B。由圖中可以看出甲超過中點3公里時，乙距離中點還有3公里，所以甲比乙多走了6公里。而甲每小時比乙多走3－2＝1（公里），所以甲比乙多走6公里花了6÷1＝6（小時），這也是乙所用的時間。因此乙走的路程就是6×2＝12（公里），從而A、B兩地相距為（12＋3）×2＝30（公里）。
作圖，尋找數量關係。因為甲的速度比乙快，所以相遇的地點靠近B。由圖中可以看出甲超過中點3公里時，乙距離中點還有3公里，所以甲比乙多走了6公里。而甲每小時比乙多走3－2＝1（公里），所以甲比乙多走6公里花了6÷1＝6（小時），這也是乙所用的時間。因此乙走的路程就是6×2＝12（公里），從而A、B兩地相距為（12＋3）×2＝30（公里）。
解 2×[（3＋3）÷（3－2）×2＋3]＝30。
2×[（3＋3）÷（3－2）×2＋3]＝30。
答 A、B兩地全程長30公里。
A、B兩地全程長30公里。
例2 甲、乙兩人從A、B兩地相向騎車而行，2小時後相遇，相遇後，乙繼續向A地前進，而甲則返回。當甲到達A地時，乙距離A地還有4公里。已知A、B兩地相距80公里，問甲、乙每小時各騎多少公里？
甲、乙兩人從A、B兩地相向騎車而行，2小時後相遇，相遇後，乙繼續向A地前進，而甲則返回。當甲到達A地時，乙距離A地還有4公里。已知A、B兩地相距80公里，問甲、乙每小時各騎多少公里？
分析 如圖，甲、乙兩人2小時相遇，仔細觀察示意圖就可得到：2小時甲、乙兩人共走的路程為80公里。相遇後，甲返回A地依然用了2小時。而這時乙在距離A點4公里處，也就是2個小時甲比乙多走4公里。問題就轉化為和差問題，從而可以求出甲、乙兩人的速度。
如圖，甲、乙兩人2小時相遇，仔細觀察示意圖就可得到：2小時甲、乙兩人共走的路程為80公里。相遇後，甲返回A地依然用了2小時。而這時乙在距離A點4公里處，也就是2個小時甲比乙多走4公里。問題就轉化為和差問題，從而可以求出甲、乙兩人的速度。
解 乙的速度為：（80÷2－4÷2）÷2＝19（公里／時）。 甲的速度為：（80÷2＋4÷2）÷2＝21（公里／時）。
乙的速度為：（80÷2－4÷2）÷2＝19（公里／時）。
甲的速度為：（80÷2＋4÷2）÷2＝21（公里／時）。
答 甲每小時行21公里，乙每小時行19公里。
甲每小時行21公里，乙每小時行19公里。
例3 兩列火車從A城、B城相向而行，第一次相遇在離A地500公里處，相遇後，兩列車繼續前進，各自到達目的地後，又折回。第二次相遇在離B城300公里處，問A城、B城相距多遠？
兩列火車從A城、B城相向而行，第一次相遇在離A地500公里處，相遇後，兩列車繼續前進，各自到達目的地後，又折回。第二次相遇在離B城300公里處，問A城、B城相距多遠？
分析 如圖，兩列火車從出發到第二次相遇一共行了三個全程，分別為：第一列火車從A城到B城；第二列火車從B城到A城；第二列火車從A城出發與從B城出發的第一列火車在途中相遇。而這三個全程還可以從另外一個角度考察，第一列火車行500公里時，兩列火車共行了一個全程，相遇後，兩車速度依然不變，所以第一列火車行駛第二個500公里時，兩列火車同樣又共行了一個全程；當第一列火車行了第三個500公里，即第一列火車行駛500×3＝1,500公里時，兩列火車正好共行了三個全程，而這時，兩列火車第二次相遇，由圖觀察可得，這時第一列火車又折回了300公里，即第一列火車行駛的1,500公里比全程多了300公里，於是，全程即為3×500－300＝1,200公里。
如圖，兩列火車從出發到第二次相遇一共行了三個全程，分別為：第一列火車從A城到B城；第二列火車從B城到A城；第二列火車從A城出發與從B城出發的第一列火車在途中相遇。而這三個全程還可以從另外一個角度考察，第一列火車行500公里時，兩列火車共行了一個全程，相遇後，兩車速度依然不變，所以第一列火車行駛第二個500公里時，兩列火車同樣又共行了一個全程；當第一列火車行了第三個500公里，即第一列火車行駛500×3＝1,500公里時，兩列火車正好共行了三個全程，而這時，兩列火車第二次相遇，由圖觀察可得，這時第一列火車又折回了300公里，即第一列火車行駛的1,500公里比全程多了300公里，於是，全程即為3×500－300＝1,200公里。
解 3×500－300＝1,200。
3×500－300＝1,200。
答 A城、B城相距1,200公里。
A城、B城相距1,200公里。
例4 兄弟兩人繞操場跑步，哥哥每秒鐘跑8米，弟弟每秒鐘跑6米，操場全長600米，如果兩人同時同地相向而行，問10分鐘相遇幾次？如果兩人同時同地同向而行，又相遇幾次？
兄弟兩人繞操場跑步，哥哥每秒鐘跑8米，弟弟每秒鐘跑6米，操場全長600米，如果兩人同時同地相向而行，問10分鐘相遇幾次？如果兩人同時同地同向而行，又相遇幾次？
分析 （ａ） （ｂ） 如圖（ａ），兄弟兩人從出發點相向而行，到相遇恰好共跑了一個操場全長，即600米。換句話說，兄弟兩人共跑1個600米時，就相遇一次。10分鐘兩人共跑10×60×（8＋6）＝8,400（米）。8,400÷600＝14，即相遇14次。 如果兩人同時同地同向而行。如圖（ｂ），那麼兄弟兩人從出發點到第一次相遇，哥哥比弟弟多跑了一圈，即600米。也就是說，哥哥每比弟弟多跑600米，兩人就相遇一次。10分鐘哥哥比弟弟多跑了10×60×（8－6）＝1,200（米），也就是多跑了2個600米，所以兄弟相遇2次。
（ａ） （ｂ）
如圖（ａ），兄弟兩人從出發點相向而行，到相遇恰好共跑了一個操場全長，即600米。換句話說，兄弟兩人共跑1個600米時，就相遇一次。10分鐘兩人共跑10×60×（8＋6）＝8,400（米）。8,400÷600＝14，即相遇14次。
如果兩人同時同地同向而行。如圖（ｂ），那麼兄弟兩人從出發點到第一次相遇，哥哥比弟弟多跑了一圈，即600米。也就是說，哥哥每比弟弟多跑600米，兩人就相遇一次。10分鐘哥哥比弟弟多跑了10×60×（8－6）＝1,200（米），也就是多跑了2個600米，所以兄弟相遇2次。
解 兄弟兩人同時同地相向而行，相遇次數為 10×60×（8＋6）÷600＝14。 兄弟二人同時同地同向而行，相遇次數為 10×60×（8－6）÷600＝2。
兄弟兩人同時同地相向而行，相遇次數為
10×60×（8＋6）÷600＝14。
兄弟二人同時同地同向而行，相遇次數為
10×60×（8－6）÷600＝2。
答 如果兩人同時同地相向而行，那麼共相遇14次；如果兩人同時同地同向而行，那麼共相遇2次。
如果兩人同時同地相向而行，那麼共相遇14次；如果兩人同時同地同向而行，那麼共相遇2次。
例5 甲、乙兩人從B城去A城。甲速度為每小時5公里，乙速度為每小時4公里。甲出發時，乙已先走了3個小時。甲走了10公里後，決定以每小時6公里的速度前進。問幾小時後甲追上乙？
甲、乙兩人從B城去A城。甲速度為每小時5公里，乙速度為每小時4公里。甲出發時，乙已先走了3個小時。甲走了10公里後，決定以每小時6公里的速度前進。問幾小時後甲追上乙？
分析 如圖，甲出發時，乙先走了3小時，即甲、乙之間相距了3×4＝12（公里），在圖上表示為BC＝12公里。甲走10公里，花了10÷5＝2（小時），到達D點。這一段時間，乙走了4×2＝8（公里），到達E點。這時候甲、乙兩人之間的距離就是圖中線段DE的長，即8＋（12－10）＝10（公里）。問題轉化為：甲、乙兩人相距10公里時，甲以每小時6公里的速度，乙以每小時4公里的速度行走，問甲幾小時後能追上乙?因為甲每小時比乙多行6－4＝2（公里），所以需要經10÷（6－4）＝5（小時）追上乙。
如圖，甲出發時，乙先走了3小時，即甲、乙之間相距了3×4＝12（公里），在圖上表示為BC＝12公里。甲走10公里，花了10÷5＝2（小時），到達D點。這一段時間，乙走了4×2＝8（公里），到達E點。這時候甲、乙兩人之間的距離就是圖中線段DE的長，即8＋（12－10）＝10（公里）。問題轉化為：甲、乙兩人相距10公里時，甲以每小時6公里的速度，乙以每小時4公里的速度行走，問甲幾小時後能追上乙?因為甲每小時比乙多行6－4＝2（公里），所以需要經10÷（6－4）＝5（小時）追上乙。
解 （4×3－10＋10÷5×4）÷（6－4）＝5。
（4×3－10＋10÷5×4）÷（6－4）＝5。
答 甲5小時後才能追上乙。
甲5小時後才能追上乙。
例6 小王、小李共同整理報紙。小王每分鐘整理72份，小李每分鐘整理60份。小王遲到了1分鐘，當小王、小李整理同樣多份的報紙時，正好完成了這批任務。問一共有多少份報紙？
小王、小李共同整理報紙。小王每分鐘整理72份，小李每分鐘整理60份。小王遲到了1分鐘，當小王、小李整理同樣多份的報紙時，正好完成了這批任務。問一共有多少份報紙？
分析 這道題實際上屬於追及問題。小王遲到了1分鐘，小李已經整理了60份報紙。小王每分鐘比小李多整理（72－60）＝12（份），所以必須花60÷12＝5（分）才可以趕上小李，即花5分鐘，小王整理了報紙總量的一半。報紙總量是5×72×2＝720（份）。
這道題實際上屬於追及問題。小王遲到了1分鐘，小李已經整理了60份報紙。小王每分鐘比小李多整理（72－60）＝12（份），所以必須花60÷12＝5（分）才可以趕上小李，即花5分鐘，小王整理了報紙總量的一半。報紙總量是5×72×2＝720（份）。
解 60×1÷（72－60）×72×2＝720。
60×1÷（72－60）×72×2＝720。
答 報紙共有720份。
報紙共有720份。
內容取材自上海華東師範大學出版社《奧數教程》，現代教育研究社及華東師範大學出版社聯合出版。版權所有，不得翻印。
