請先思考一下以下例題，然後按例題來顯示有關解說。
例1 把1、2、3、4、5、6填在圖（a）的○中，使每條邊上的三個數之和都等於9。
把1、2、3、4、5、6填在圖（a）的○中，使每條邊上的三個數之和都等於9。
分析 因為要求每條邊上的三個數之和都等於9，這樣三條邊總和是9×3＝27。而1＋2＋3＋4＋5＋6＝21，與總和差為27－21＝6，從圖（a）不難看出：計算三邊總和時，甲、乙、丙三數重複累加了一次，即可知甲＋乙＋丙＝6，故在1∼6中只能選1、2、3三數填入三頂點（甲、乙、丙）圓圈內，再將4、5、6按要求填入另外三個圓圈內，因而得出圖（b）所示的基本解。又如圖（c）－（g）示，若再將圖（b）的基本解圖形以三角形高為轉軸翻轉180°以及將三角形平面旋轉又可得到5種不同填法。 下面我們繼續討論例1問題的一般情況。 （a） （b） （c） （d） （e） （f） （g）
因為要求每條邊上的三個數之和都等於9，這樣三條邊總和是9×3＝27。而1＋2＋3＋4＋5＋6＝21，與總和差為27－21＝6，從圖（a）不難看出：計算三邊總和時，甲、乙、丙三數重複累加了一次，即可知甲＋乙＋丙＝6，故在1∼6中只能選1、2、3三數填入三頂點（甲、乙、丙）圓圈內，再將4、5、6按要求填入另外三個圓圈內，因而得出圖（b）所示的基本解。又如圖（c）－（g）示，若再將圖（b）的基本解圖形以三角形高為轉軸翻轉180°以及將三角形平面旋轉又可得到5種不同填法。
下面我們繼續討論例1問題的一般情況。
（a）
（b）
（c）
（d）
（e）
（f）
（g）
例2 將1、2、3、4、5、6填在例1圖中○裏，使每條邊上的三個數之和相等。有幾個基本解？共有多少種填法？
將1、2、3、4、5、6填在例1圖中○裏，使每條邊上的三個數之和相等。有幾個基本解？共有多少種填法？
分析 通過對例1的解析，我們想到：每條邊三數之和在相等的前提下，和的大小取決於三個頂點○內填甚麼數，如三頂點○內填入最小1、2、3三數，則每條邊之和為＝9；若三個頂點○內填入最大的數字4、5、6三個數，則每條邊三數之和?span>＝12。因此可得出：每條邊三數之和在9∼12之間。
通過對例1的解析，我們想到：每條邊三數之和在相等的前提下，和的大小取決於三個頂點○內填甚麼數，如三頂點○內填入最小1、2、3三數，則每條邊之和為＝9；若三個頂點○內填入最大的數字4、5、6三個數，則每條邊三數之和?span>
解 （1）若每條邊三數之和為9，經分析可得出基本解（一）（見例1）； （2）若每條邊三數之和為10，由於10×3－（1＋2＋3＋4＋5＋6）＝9，可知三個頂點○填入的三數之和為9，即可填入1、3、5或2、3、4或1、2、6。經試填1、3、5可得基本解（二）（見圖）。 若填入2、3、4或1、2、6均無解。請同學們自己試一試！ （3）若每邊三數之和為11，由於11×3－（1＋2＋3＋4＋5＋6）＝12，可知三個頂點○填入的三數之和為12，即可填入2、4、6或3、4、5或1、5、6。經試填2、4、6可得基本解（三）（見圖）。 若填入3、4、5或1、5、6，則無解。請同學們自己試一試！ （4）若每邊三數之和為12，由於12×3－（1＋2＋3＋4＋5＋6）＝15，可知三個頂點○填入的三數之和為15，即可填入4、5、6。經試填可得基本解（四）（見圖） 。 再將4個基本解如例1中那樣分別翻轉和平面旋轉又可分別得出5種填法。 因此，例2共有4個基本解，24種填法。
（1）若每條邊三數之和為9，經分析可得出基本解（一）（見例1）；
（2）若每條邊三數之和為10，由於10×3－（1＋2＋3＋4＋5＋6）＝9，可知三個頂點○填入的三數之和為9，即可填入1、3、5或2、3、4或1、2、6。經試填1、3、5可得基本解（二）（見圖）。
若填入2、3、4或1、2、6均無解。請同學們自己試一試！
（3）若每邊三數之和為11，由於11×3－（1＋2＋3＋4＋5＋6）＝12，可知三個頂點○填入的三數之和為12，即可填入2、4、6或3、4、5或1、5、6。經試填2、4、6可得基本解（三）（見圖）。
若填入3、4、5或1、5、6，則無解。請同學們自己試一試！
（4）若每邊三數之和為12，由於12×3－（1＋2＋3＋4＋5＋6）＝15，可知三個頂點○填入的三數之和為15，即可填入4、5、6。經試填可得基本解（四）（見圖）
。
再將4個基本解如例1中那樣分別翻轉和平面旋轉又可分別得出5種填法。
因此，例2共有4個基本解，24種填法。
例3 把1∼12這十二個數，分別填在圖中正方形四條邊上的十二個○內，使每條邊上四個○內數的和都等於22，試求出一個基本解。
把1∼12這十二個數，分別填在圖中正方形四條邊上的十二個○內，使每條邊上四個○內數的和都等於22，試求出一個基本解。
分析 此題類似於例1，解答的關鍵是確定正方形4個頂點上的數。 因為正方形每條邊上4個數的和都是22，所以正方形4條邊上的數相加的總和是22×4＝88。 由於 1＋2＋…＋11＋12＝78， 從而 88－78＝10。 因此4個頂點上所填數相加應是10，而從1到12中4個數相加等於10只有一種情況：1＋2＋3＋4。即四個頂點只能分別填1、2、3、4。經試驗可得出基本解。
此題類似於例1，解答的關鍵是確定正方形4個頂點上的數。
因為正方形每條邊上4個數的和都是22，所以正方形4條邊上的數相加的總和是22×4＝88。
由於 1＋2＋…＋11＋12＝78，
從而 88－78＝10。
因此4個頂點上所填數相加應是10，而從1到12中4個數相加等於10只有一種情況：1＋2＋3＋4。即四個頂點只能分別填1、2、3、4。經試驗可得出基本解。
解 此題的一個基本解如圖所示。 像以上介紹的各條邊相互連接的數陣圖叫做封閉型數陣圖。對於封閉型數陣圖，解題的關鍵是先確定頂點處的數字，然後再根據條件要求試驗找出正確的解。另外，數陣的解，多數都是不唯一的，如果題目沒有特別要求，只求出一個基本解即可。
此題的一個基本解如圖所示。
像以上介紹的各條邊相互連接的數陣圖叫做封閉型數陣圖。對於封閉型數陣圖，解題的關鍵是先確定頂點處的數字，然後再根據條件要求試驗找出正確的解。另外，數陣的解，多數都是不唯一的，如果題目沒有特別要求，只求出一個基本解即可。
例4 下面，將向同學們介紹開放型（或稱輻射型）數陣圖。 把1∼7這七個數分別填入圖中，使每條線段上的三個○內數的和相等。
下面，將向同學們介紹開放型（或稱輻射型）數陣圖。
把1∼7這七個數分別填入圖中，使每條線段上的三個○內數的和相等。
分析 通過觀察我們會發現，解答本題的關鍵是確定中心○內的數，另外還要知道每條線段上三個數的和是幾。 在計算每條線段的三個數的和時，由於中心○內的數被重複計算了三次，因此三條線段上共九個數的總和應等於1∼7這七個數的和再加上中心○內數的2倍。這個總和也是一條線段上三個數和的3倍。所以用這個總和除以3就得到了一條線段上3個數的和。因為 1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28， 這個數與中心○內數的2倍的和必須是3的倍數。因此，中心○內數可取1， 4，7。
通過觀察我們會發現，解答本題的關鍵是確定中心○內的數，另外還要知道每條線段上三個數的和是幾。
在計算每條線段的三個數的和時，由於中心○內的數被重複計算了三次，因此三條線段上共九個數的總和應等於1∼7這七個數的和再加上中心○內數的2倍。這個總和也是一條線段上三個數和的3倍。所以用這個總和除以3就得到了一條線段上3個數的和。因為
1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28，
這個數與中心○內數的2倍的和必須是3的倍數。因此，中心○內數可取1， 4，7。
解 （1）如果中心○內數取1，則有 28＋2×1＝30，30÷3＝10。 即每條線段上的三個數的和是10。把1填入中心，把餘下的六個數分為三組，每組兩個數的和為9，有 2＋7＝3＋6＝4＋5＝9， 這樣就得到了一個基本解，如圖所示。 （2）如果中心○內數取4，則有 28＋2×4＝36， 36÷3＝12。 即每條線段上的三個數的和是12，類似（1）又可得到一個基本解，如圖所示。 （3）如果中心○內的數取7，則有28＋2×7＝42，42÷3＝14。即每條線段上的三個數的和是14，類似（1）又可找到一個基本解，如圖所示。 所以，本題共有3個基本解。
（1）如果中心○內數取1，則有
28＋2×1＝30，30÷3＝10。
即每條線段上的三個數的和是10。把1填入中心，把餘下的六個數分為三組，每組兩個數的和為9，有
2＋7＝3＋6＝4＋5＝9，
這樣就得到了一個基本解，如圖所示。
（2）如果中心○內數取4，則有
28＋2×4＝36，
36÷3＝12。
即每條線段上的三個數的和是12，類似（1）又可得到一個基本解，如圖所示。
（3）如果中心○內的數取7，則有28＋2×7＝42，42÷3＝14。即每條線段上的三個數的和是14，類似（1）又可找到一個基本解，如圖所示。
所以，本題共有3個基本解。
例5 將1∼9這九個數，分別填入圖中的各個○內使每條線段上三個○內的數的和相等。
將1∼9這九個數，分別填入圖中的各個○內使每條線段上三個○內的數的和相等。
分析 此題類似於例4，關鍵仍是確定中心○內的數和每條線段上三個數的和。
此題類似於例4，關鍵仍是確定中心○內的數和每條線段上三個數的和。
解 設中心○內的數是ａ，每條線段三個○內數的和為ｋ，則有 4ｋ＝（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9）＋3ａ， 4ｋ＝45＋3ａ ｋ＝（45＋3ａ）÷4。 因為ｋ是整數，所以45＋3ａ必須能被4整除，其中45÷4＝11……1，因此3ａ除以4的餘數必須是3，這樣，在1∼9中，ａ可取1、5、9。 當ａ＝1時，ｋ＝12，經試驗可得一基本解，如圖所示； 當ａ＝5時，ｋ＝15，經試驗又可得一基本解，如圖所示； 當ａ＝9時，ｋ＝18，經試驗又得一基本解，如圖所示。
設中心○內的數是ａ，每條線段三個○內數的和為ｋ，則有
4ｋ＝（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9）＋3ａ，
4ｋ＝45＋3ａ
ｋ＝（45＋3ａ）÷4。
因為ｋ是整數，所以45＋3ａ必須能被4整除，其中45÷4＝11……1，因此3ａ除以4的餘數必須是3，這樣，在1∼9中，ａ可取1、5、9。
當ａ＝1時，ｋ＝12，經試驗可得一基本解，如圖所示；
當ａ＝5時，ｋ＝15，經試驗又可得一基本解，如圖所示；
當ａ＝9時，ｋ＝18，經試驗又得一基本解，如圖所示。
例6 把1∼11這十一個數分別填入圖中的各個○內，使每條線段上三個○內數的和都等於22。
把1∼11這十一個數分別填入圖中的各個○內，使每條線段上三個○內數的和都等於22。
分析 此題的關鍵仍是確定中心○內的數是幾。 由於每條線上的3個○內數的和都等於22，而且中心○內的數被重複計算了5次，因此五條線段上共15個數的總和是22×5＝110。實際上110就是1∼11這11個數的和再加上中心○內數的4倍。 由於 1＋2＋…＋11＝66， 而 110－66＝44， 44÷4＝11， 因此中心○內數應為11，然後把剩下的10個數適當調配就可得到一個基本解。
此題的關鍵仍是確定中心○內的數是幾。
由於每條線上的3個○內數的和都等於22，而且中心○內的數被重複計算了5次，因此五條線段上共15個數的總和是22×5＝110。實際上110就是1∼11這11個數的和再加上中心○內數的4倍。
由於 1＋2＋…＋11＝66，
而 110－66＝44，
44÷4＝11，
因此中心○內數應為11，然後把剩下的10個數適當調配就可得到一個基本解。
解 這個題有一個基本解，如圖所示。 以上介紹了開放型數陣圖及其解法。對於開放型數陣圖，解題的關鍵是確定中心的數字。 同學們一定要記住，填數陣圖時一定不能亂填亂試，而應該認真分析研究數陣圖的內在規律，抓住解決問題的關鍵，按步驟求解。
這個題有一個基本解，如圖所示。
以上介紹了開放型數陣圖及其解法。對於開放型數陣圖，解題的關鍵是確定中心的數字。
同學們一定要記住，填數陣圖時一定不能亂填亂試，而應該認真分析研究數陣圖的內在規律，抓住解決問題的關鍵，按步驟求解。
內容取材自上海華東師範大學出版社《奧數教程》，現代教育研究社及華東師範大學出版社聯合出版。版權所有，不得翻印。
