請先思考一下以下例題，然後按例題來顯示有關解說。
例1 用數字1，2，3可以組成多少個不同的三位數？分別是哪幾個數？
用數字1，2，3可以組成多少個不同的三位數？分別是哪幾個數？
分析 分析根據百位上數字的不同，我們可將它們分成三類： 第1類： 百位上的數字為1，有123，132； 第2類： 百位上的數字為2，有213，231； 第3類： 百位上的數字為3，有312，321。
分析根據百位上數字的不同，我們可將它們分成三類：
第1類： 百位上的數字為1，有123，132；
第2類： 百位上的數字為2，有213，231；
第3類： 百位上的數字為3，有312，321。
解 可以組成123，132，213，231，312，321，共6個三位數。
可以組成123，132，213，231，312，321，共6個三位數。
例2 小明有面值為5角、8角的郵票各兩枚。他用這些郵票能付多少種不同的郵資（寄信時，所需郵票的錢數）？
小明有面值為5角、8角的郵票各兩枚。他用這些郵票能付多少種不同的郵資（寄信時，所需郵票的錢數）？
分析 我們可根據小明寄信時所用郵票枚數的多少，把它們分成四類。
我們可根據小明寄信時所用郵票枚數的多少，把它們分成四類。
解 第1類： 用1枚郵票時有5角、8角2種； 第2類： 用2枚郵票時有1元、1元3角、1元6角3種； 第3類： 用3枚郵票時有1元8角、2元1角2種； 第4類： 用4枚郵票時只有2元6角1種。 2＋3＋2＋1＝8（種）。
第1類： 用1枚郵票時有5角、8角2種；
第2類： 用2枚郵票時有1元、1元3角、1元6角3種；
第3類： 用3枚郵票時有1元8角、2元1角2種；
第4類： 用4枚郵票時只有2元6角1種。
2＋3＋2＋1＝8（種）。
答 能付8種不同的郵資。
能付8種不同的郵資。
例3 用一臺天平和重1克、3克、9克的砝碼各一個（不再用其他物體當砝碼），當砝碼只能放在同一盤內時，可稱出不同的重量有多少種？
用一臺天平和重1克、3克、9克的砝碼各一個（不再用其他物體當砝碼），當砝碼只能放在同一盤內時，可稱出不同的重量有多少種？
分析 共有三個重量各不相同的砝碼，可以取出其中的一個、兩個或三個來稱不同的重量。一一列舉這三種情況。
共有三個重量各不相同的砝碼，可以取出其中的一個、兩個或三個來稱不同的重量。一一列舉這三種情況。
解 取一個砝碼可稱1克、3克、9克的重量，有3種； 取出兩個砝碼可稱：1＋3＝4（克）， 1＋9＝10（克）， 3＋9＝12（克）的重量，有3種； 取出全部砝碼可稱：1＋3＋9＝13（克）的重量，有1種。 注意到1、3、9、4、10、12、13各不相同，故可稱出不同的重量有3＋3＋1＝7(種)。 用樹形圖可以把解題過程顯示出來。
取一個砝碼可稱1克、3克、9克的重量，有3種；
取出兩個砝碼可稱：1＋3＝4（克）， 1＋9＝10（克）， 3＋9＝12（克）的重量，有3種；
取出全部砝碼可稱：1＋3＋9＝13（克）的重量，有1種。
注意到1、3、9、4、10、12、13各不相同，故可稱出不同的重量有3＋3＋1＝7(種)。
用樹形圖可以把解題過程顯示出來。
例4 課外小組組織30人做遊戲，按1∼30號排隊報數。第一次報數後，單號全部站出來，然後每次餘下的人中第一個人開始站出來，隔一人站出來一人，到第幾次這些人全部都站出來了？最後站出來的人應是第幾號？
課外小組組織30人做遊戲，按1∼30號排隊報數。第一次報數後，單號全部站出來，然後每次餘下的人中第一個人開始站出來，隔一人站出來一人，到第幾次這些人全部都站出來了？最後站出來的人應是第幾號？
分析 根據題目的特點，先用排列法把題中的條件、問題排列出來，再用枚舉法完成題目的要求。 條件：（1）排隊編號： 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18， 19，20，21，22，23，24，25，26，27，28，29，30。 （2）第一次報數後單號全部站出來。 （3）然後每次：從餘下的第一人站出來起，隔一人站出來一人。 問題：到第幾次站完?最後站出來的是第幾號?
根據題目的特點，先用排列法把題中的條件、問題排列出來，再用枚舉法完成題目的要求。
條件：（1）排隊編號：
1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18， 19，20，21，22，23，24，25，26，27，28，29，30。
（2）第一次報數後單號全部站出來。
（3）然後每次：從餘下的第一人站出來起，隔一人站出來一人。
問題：到第幾次站完?最後站出來的是第幾號?
解 從上表的列舉中，我們毫無遺漏地排列，得出到第五次這些人全都站出來了，最後一人是第16號。
從上表的列舉中，我們毫無遺漏地排列，得出到第五次這些人全都站出來了，最後一人是第16號。
例5 如圖所示，數字1處有一顆棋子，現移動這顆棋子到數字5處。規定每次只能移動到鄰近的一格，且總是向右移動。例如1→2→4→5就是一條移動路線。問共有多少種不同的移動路線？
如圖所示，數字1處有一顆棋子，現移動這顆棋子到數字5處。規定每次只能移動到鄰近的一格，且總是向右移動。例如1→2→4→5就是一條移動路線。問共有多少種不同的移動路線？
解 解法一 移動棋子，從1要移動到5。對1來說，向右移動到鄰近一格，有兩種方法1→2或1→3；對2來說，向右移動到鄰近一格，也有兩種方法2→3或2→4； ……。 我們用樹形圖一步一步填寫（如圖）。 數一數圖中5的個數就是移動的路線數。故共有5種移動路線。 解法二從1要移到5，從結果想，要移到5，只有從4、 3向右移動一格到鄰近一格5，即5←4或5←3； 要移到4，只有從3、 2向右移動一格到鄰近一格4，即4←3或4←2； ……。用樹形圖一步一步填寫（如圖）。 數一數圖中1的個數就是移動的路線數。故共有5種不同的移動路線。
解法一 移動棋子，從1要移動到5。對1來說，向右移動到鄰近一格，有兩種方法1→2或1→3；對2來說，向右移動到鄰近一格，也有兩種方法2→3或2→4； ……。 我們用樹形圖一步一步填寫（如圖）。
數一數圖中5的個數就是移動的路線數。故共有5種移動路線。
解法二從1要移到5，從結果想，要移到5，只有從4、 3向右移動一格到鄰近一格5，即5←4或5←3； 要移到4，只有從3、 2向右移動一格到鄰近一格4，即4←3或4←2； ……。用樹形圖一步一步填寫（如圖）。
數一數圖中1的個數就是移動的路線數。故共有5種不同的移動路線。
例6 商店出售餅乾，現存10箱5公斤重的，4箱2公斤重的，8箱1公斤重的。一顧客要買9公斤餅乾，為了便於攜帶要求不開箱。營業員有多少種發貨辦法？
商店出售餅乾，現存10箱5公斤重的，4箱2公斤重的，8箱1公斤重的。一顧客要買9公斤餅乾，為了便於攜帶要求不開箱。營業員有多少種發貨辦法？
分析 買9公斤餅乾要求不開箱，從題中告訴的條件來看，並不難做到，但問題是求「有多少種發貨辦法？」這意味著要求無遺漏、無重複的把各種發貨的可能性都考慮到，顯然用枚舉法是一種好辦法。 用列表的形式，為了避免重複、遺漏，可先排取5公斤重的箱，再排取2公斤重的箱，再排取1公斤重的箱。
買9公斤餅乾要求不開箱，從題中告訴的條件來看，並不難做到，但問題是求「有多少種發貨辦法？」這意味著要求無遺漏、無重複的把各種發貨的可能性都考慮到，顯然用枚舉法是一種好辦法。
用列表的形式，為了避免重複、遺漏，可先排取5公斤重的箱，再排取2公斤重的箱，再排取1公斤重的箱。
解
答 不開箱，營業員有7種發貨辦法。
不開箱，營業員有7種發貨辦法。
記住 從以上各例可以看到，利用樹形圖或列表分析的方法解答應用題，往往是非常有效的，它能把抽象、複雜的事情清楚、直觀地展現在我們面前，為解題提供思路。 另外，我們還應體會到，用枚舉法解應用題的關鍵是正確分類，為此，必須注意兩點： 1.分類要全、枚舉要清。分類不全，就會造成遺漏。分類確定之後，要把每一類中每一個符合條件的對象都列舉出來。 2.分類要清。因為如果分不清，使第1類中有第2類、第2類中有第3類，互相包含，那麼就會有重複。這樣結果也就很難正確了。
從以上各例可以看到，利用樹形圖或列表分析的方法解答應用題，往往是非常有效的，它能把抽象、複雜的事情清楚、直觀地展現在我們面前，為解題提供思路。
另外，我們還應體會到，用枚舉法解應用題的關鍵是正確分類，為此，必須注意兩點：
1.分類要全、枚舉要清。分類不全，就會造成遺漏。分類確定之後，要把每一類中每一個符合條件的對象都列舉出來。
2.分類要清。因為如果分不清，使第1類中有第2類、第2類中有第3類，互相包含，那麼就會有重複。這樣結果也就很難正確了。
內容取材自上海華東師範大學出版社《奧數教程》，現代教育研究社及華東師範大學出版社聯合出版。版權所有，不得翻印。
