請先思考一下以下例題，然後按例題來顯示有關解說。
例1 若把0.00000012簡單記作，現有下面三個小數：，，，試計算ａ÷（ｂ×ｃ）－（ａ－ｂ）。
若把0.00000012簡單記作，現有下面三個小數：，，，試計算ａ÷（ｂ×ｃ）－（ａ－ｂ）。
解 第一步：求ｂ×ｃ和ａ－ｂ。 根據乘積的小數點的位數等於各個乘數的小數點的位數之和的方法，得 。 根據兩個小數的減法法則，可知： 。 第二步：求ａ÷（ｂ×ｃ）。 根據小數的除法法則，ａ和ｂ×ｃ的小數點同時向右移202位，得 。 第三步：求ａ÷（ｂ×ｃ）－（ａ－ｂ）。 。
第一步：求ｂ×ｃ和ａ－ｂ。
根據乘積的小數點的位數等於各個乘數的小數點的位數之和的方法，得
。
根據兩個小數的減法法則，可知：
第二步：求ａ÷（ｂ×ｃ）。
根據小數的除法法則，ａ和ｂ×ｃ的小數點同時向右移202位，得
第三步：求ａ÷（ｂ×ｃ）－（ａ－ｂ）。
例2 把下列各題中的「」換成適當的數字，並確定原來被乘數和被除數的小數點的位置。 （1） （2）
把下列各題中的「」換成適當的數字，並確定原來被乘數和被除數的小數點的位置。
（1）
（2）
分析 （1）由末尾是可以推得為230，為11.5，又由上可推知為10.2。 （2）由商的個位上是8和，可推出除數為1.2，且商的首位上是5，被除數的首位上是6，即可知為60，因為12×8＝96，所以為96，為97，由除法的最後一步即知為12的倍數，所以為12×9＝108。
（1）由末尾是可以推得為230，為11.5，又由上可推知為10.2。
（2）由商的個位上是8和，可推出除數為1.2，且商的首位上是5，被除數的首位上是6，即可知為60，因為12×8＝96，所以為96，為97，由除法的最後一步即知為12的倍數，所以為12×9＝108。
解 （1） （2）
例3 計算：72.19＋6.48＋27.81－1.38－5.48－0.62。
計算：72.19＋6.48＋27.81－1.38－5.48－0.62。
分析 注意到72.19與27.81和為100，可應用加法交換律和補數定義，將這兩個數先相加湊成整百；同時可知1.38與0.62相加可湊成整數2；6.48與5.48相減可湊成整數1，所以應用交換律和結合律能計算得本題的結果。
注意到72.19與27.81和為100，可應用加法交換律和補數定義，將這兩個數先相加湊成整百；同時可知1.38與0.62相加可湊成整數2；6.48與5.48相減可湊成整數1，所以應用交換律和結合律能計算得本題的結果。
解 72.19＋6.48＋27.81－1.38－5.48－0.62 ＝（72.19＋27.81）＋（6.48－5.48）－（1.38＋0.62） ＝100＋1－2 ＝99。
72.19＋6.48＋27.81－1.38－5.48－0.62
＝（72.19＋27.81）＋（6.48－5.48）－（1.38＋0.62）
＝100＋1－2
＝99。
評析 在小數加減法中，應用補數定義「湊整」可將「能湊成整十，整百，…的兩數先相加或相減，以達到湊整簡化運算的目的」。
在小數加減法中，應用補數定義「湊整」可將「能湊成整十，整百，…的兩數先相加或相減，以達到湊整簡化運算的目的」。
例4 計算：5.6×16.5÷0.7÷1.1。
計算：5.6×16.5÷0.7÷1.1。
分析 注意到5.6÷0.7運用商不變的性質，將被除數和除數都擴大10倍變為56÷7；同理16.5÷1.1可變成165÷11，於是可迅速得到結果。
注意到5.6÷0.7運用商不變的性質，將被除數和除數都擴大10倍變為56÷7；同理16.5÷1.1可變成165÷11，於是可迅速得到結果。
解 5.6×16.5÷0.7÷1.1 ＝（5.6÷0.7）×（16.5÷1.1） ＝（56÷7）×（165÷11） ＝8×15 ＝120。
5.6×16.5÷0.7÷1.1
＝（5.6÷0.7）×（16.5÷1.1）
＝（56÷7）×（165÷11）
＝8×15
＝120。
例5 計算：1.25×67.875＋125×6.7875＋1,250×0.053375。
計算：1.25×67.875＋125×6.7875＋1,250×0.053375。
分析 注意到相加的三個乘積中分別有因數1.25、125和1,250，因此想到利用「積不變」的性質： 將125×6.7875變成1.25×678.25； 將1,250×0.053375變成1.25×53.375； 於是三個積有公因數1.25； 再注意到67.875、678.25和53.375三數相加又可湊整，於是可將變型後的公因數1.25提取就能方便於計算了。
注意到相加的三個乘積中分別有因數1.25、125和1,250，因此想到利用「積不變」的性質：
將125×6.7875變成1.25×678.25；
將1,250×0.053375變成1.25×53.375；
於是三個積有公因數1.25；
再注意到67.875、678.25和53.375三數相加又可湊整，於是可將變型後的公因數1.25提取就能方便於計算了。
解 1. 25×67.875＋125×6.7875＋1,250×0.053375 ＝1.25×67.875＋1.25×678.75＋1.25×53.375 ＝1.25×（67.875＋678.75＋53.375） ＝1.25×800 ＝1,000。
1. 25×67.875＋125×6.7875＋1,250×0.053375
＝1.25×67.875＋1.25×678.75＋1.25×53.375
＝1.25×（67.875＋678.75＋53.375）
＝1.25×800
＝1,000。
例6 計算：（1＋0.23＋0.34）×（0.23＋0.34＋0.65）－（1＋0.23＋0.34＋0.65）×（0.23＋0.34）。
計算：（1＋0.23＋0.34）×（0.23＋0.34＋0.65）－（1＋0.23＋0.34＋0.65）×（0.23＋0.34）。
分析 此題表面看，數多，運算麻煩，一時無從下手。但認真觀察一下題中每一個數就會發現，算式中只有四個不同的數1，0.23，0.34，0.65，且有兩個重複出現的式子：0.23＋0.34和0.23＋0.34＋0.65。 如果將這兩個式子分別用一個字母代替，經過變型後，便有可能相互扺消，使算式變得很簡單。
此題表面看，數多，運算麻煩，一時無從下手。但認真觀察一下題中每一個數就會發現，算式中只有四個不同的數1，0.23，0.34，0.65，且有兩個重複出現的式子：0.23＋0.34和0.23＋0.34＋0.65。 如果將這兩個式子分別用一個字母代替，經過變型後，便有可能相互扺消，使算式變得很簡單。
解 設ｘ＝0.23＋0.34，ｙ＝0.23＋0.34＋0.65， 則原式＝（1＋ｘ）×ｙ－（1＋ｙ）×ｘ ＝ｙ＋ｘ×ｙ－ｘ－ｙ×ｘ ＝ｙ－ｘ ＝0.23＋0.34＋0.65－0.23－0.34 ＝0.65。
設ｘ＝0.23＋0.34，ｙ＝0.23＋0.34＋0.65，
則原式＝（1＋ｘ）×ｙ－（1＋ｙ）×ｘ
＝ｙ＋ｘ×ｙ－ｘ－ｙ×ｘ
＝ｙ－ｘ
＝0.23＋0.34＋0.65－0.23－0.34
＝0.65。
說明 本例所用方法實際上是把0.23＋0.34和0.23＋0.34＋0.65分別看成一個整體，並用字母ｘ，ｙ分別表示這兩個整體，再進行整體處理。 小數四則運算中的巧妙算法有很多，值得注意的是，要想達到巧算的目的，必須熟練兩項基本功。 1. 能夠迅速、準確地找到題目中各個數的特點，以便選擇最恰當的計算方法。 2. 對知識要點所列的基本知識要能靈活運用。 在第二講，「括號和分配律」當中，還會看到更多的巧妙算法。
本例所用方法實際上是把0.23＋0.34和0.23＋0.34＋0.65分別看成一個整體，並用字母ｘ，ｙ分別表示這兩個整體，再進行整體處理。
小數四則運算中的巧妙算法有很多，值得注意的是，要想達到巧算的目的，必須熟練兩項基本功。
1. 能夠迅速、準確地找到題目中各個數的特點，以便選擇最恰當的計算方法。
2. 對知識要點所列的基本知識要能靈活運用。
在第二講，「括號和分配律」當中，還會看到更多的巧妙算法。
內容取材自上海華東師範大學出版社《奧數教程》，現代教育研究社及華東師範大學出版社聯合出版。版權所有，不得翻印。
