請先思考一下以下例題，然後按例題來顯示有關解說。
例1 某次考試，21位女同學的平均成績是82分，19位男同學的平均成績是87分，全體同學的平均成績是多少？
某次考試，21位女同學的平均成績是82分，19位男同學的平均成績是87分，全體同學的平均成績是多少？
解 解法一 女同學的總分數：82×21＝1,722。 男同學的總分數：87×19＝1,653。 全體同學的總分數：1,722＋1,653＝3,375。 全體同學的人數：21＋19＝40。 全體同學的平均成績：3,375÷40＝84.375。 解法二 以女同學的平均成績82分作為計算的基數，男同學每人平均多了（87－82）＝5（分）。19人多了5×19＝95（分），現在平均分攤給全體40人。 因此，全體同學的平均成績是 82＋（87－82）×19÷40 ＝82＋95÷40 ＝84.375（分）。
解法一
女同學的總分數：82×21＝1,722。
男同學的總分數：87×19＝1,653。
全體同學的總分數：1,722＋1,653＝3,375。
全體同學的人數：21＋19＝40。
全體同學的平均成績：3,375÷40＝84.375。
解法二
以女同學的平均成績82分作為計算的基數，男同學每人平均多了（87－82）＝5（分）。19人多了5×19＝95（分），現在平均分攤給全體40人。
因此，全體同學的平均成績是
82＋（87－82）×19÷40
＝82＋95÷40
＝84.375（分）。
說明 應當注意的是從部分平均求全體平均時，不能簡單的把部分平均數再進行平均。如果例1中，作如下計算： （82＋87）÷2＝83.5。 就不是全體同學的平均成績。這一基本概念，務必使學生們弄明白。
應當注意的是從部分平均求全體平均時，不能簡單的把部分平均數再進行平均。如果例1中，作如下計算：
（82＋87）÷2＝83.5。
就不是全體同學的平均成績。這一基本概念，務必使學生們弄明白。
例2 李華4次算術測驗的平均成績是87分，5次算術測驗的平均成績是88.4分，問第5次測驗他得了多少分？
李華4次算術測驗的平均成績是87分，5次算術測驗的平均成績是88.4分，問第5次測驗他得了多少分？
解 解法一 從「總分數（總成績）」來思考。 第5次成績＝5次總成績－4次總成績 ＝88.4×5－87×4＝94（分）。 解法二 從「差的平均」來考慮。 平均成績提高了：88.4－87。 因此，第5次得分應是 87＋（88.4－87）×5＝94（分）。
解法一 從「總分數（總成績）」來思考。
第5次成績＝5次總成績－4次總成績
＝88.4×5－87×4＝94（分）。
解法二 從「差的平均」來考慮。
平均成績提高了：88.4－87。
因此，第5次得分應是
87＋（88.4－87）×5＝94（分）。
例3 五年級（一）班52人，（二）班48人。某次算術考試中，兩班全體學生的平均分為78分，（二）班的平均分比（一）班的平均分高5分，問兩個班的平均分各是多少分？
五年級（一）班52人，（二）班48人。某次算術考試中，兩班全體學生的平均分為78分，（二）班的平均分比（一）班的平均分高5分，問兩個班的平均分各是多少分？
解 兩個班的總人數是 52＋48＝100（人）。 他們的總分數是 78×100＝7,800（分）。 以（一）班同學的平均成績為基數，則（二）班每人平均多了5分。如果（二）班的總分數少了 5×48＝240（分）， 則（二）班的平均成績就與（一）班的一樣，因此（一）班的平均成績是 （7,800－240）÷100＝75.6（分）， （二）班的平均成績是 75.6＋5＝80.6（分）。
兩個班的總人數是
52＋48＝100（人）。
他們的總分數是
78×100＝7,800（分）。
以（一）班同學的平均成績為基數，則（二）班每人平均多了5分。如果（二）班的總分數少了
5×48＝240（分），
則（二）班的平均成績就與（一）班的一樣，因此（一）班的平均成績是
（7,800－240）÷100＝75.6（分），
（二）班的平均成績是
75.6＋5＝80.6（分）。
例4 某班級女同學的人數是男同學的2倍，女同學的平均身高是160厘米，男同學的平均身高是154厘米，全班同學的平均身高是多少厘米？
某班級女同學的人數是男同學的2倍，女同學的平均身高是160厘米，男同學的平均身高是154厘米，全班同學的平均身高是多少厘米？
分析 題目中沒有告訴我們男、女同學的具體人數。不妨設男同學人數為ｘ，女同學人數為2ｘ。根據題意要求全班同學的平均身高可以列式計算得 （154ｘ＋160×2ｘ）÷（ｘ＋2ｘ） ＝474ｘ÷3ｘ＝158（厘米）。
題目中沒有告訴我們男、女同學的具體人數。不妨設男同學人數為ｘ，女同學人數為2ｘ。根據題意要求全班同學的平均身高可以列式計算得
（154ｘ＋160×2ｘ）÷（ｘ＋2ｘ）
＝474ｘ÷3ｘ＝158（厘米）。
解 （160×2＋154）÷（2＋1） ＝474÷3＝158（厘米）。
（160×2＋154）÷（2＋1）
＝474÷3＝158（厘米）。
答 全班的平均身高是158厘米。
全班的平均身高是158厘米。
說明 通過計算，可以發現其中的ｘ沒有起到作用，在計算過程中正好約掉了。因此，男女同學具體有多少人並沒有影響本題解答，於是可以假設男同學人數是1，則女同學人數是2，這樣解答起來就更方便了。
通過計算，可以發現其中的ｘ沒有起到作用，在計算過程中正好約掉了。因此，男女同學具體有多少人並沒有影響本題解答，於是可以假設男同學人數是1，則女同學人數是2，這樣解答起來就更方便了。
例5 某學校入學考試，確定了錄取分數線。報考的學生中，只錄取了考生人數的，錄取者平均分比錄取分數線高10分，沒有被錄取的同學其平均分比錄取分數線低26分，所有考生的平均成績是70分，那麼錄取分數線是多少？
某學校入學考試，確定了錄取分數線。報考的學生中，只錄取了考生人數的，錄取者平均分比錄取分數線高10分，沒有被錄取的同學其平均分比錄取分數線低26分，所有考生的平均成績是70分，那麼錄取分數線是多少？
分析 與例4的解法相類似。由於的考生被錄取，也就是的考生沒有被錄取，於是我們可以把錄取學生的人數算作1，沒有被錄取的人數算作3。 以錄取分數線作為基數，沒有被錄取的考生的分數總共比錄取分數線少了26×3（分），被錄取學生的分數總共比錄取分數線多了10×1（分），合起來則得所有考生的分數總共比錄取分數線少了 26×3－10×1（分）。 因此，對所有考生來說，每人的成績比錄取分數線平均少了 （26×3－10×1）÷（3＋1）＝17（分）， 即每一考生的平均分70（分）比錄取分數線少了17（分）。因此，實際錄取的分數線是 70＋17＝87（分）。
與例4的解法相類似。由於的考生被錄取，也就是的考生沒有被錄取，於是我們可以把錄取學生的人數算作1，沒有被錄取的人數算作3。
以錄取分數線作為基數，沒有被錄取的考生的分數總共比錄取分數線少了26×3（分），被錄取學生的分數總共比錄取分數線多了10×1（分），合起來則得所有考生的分數總共比錄取分數線少了
26×3－10×1（分）。
因此，對所有考生來說，每人的成績比錄取分數線平均少了
（26×3－10×1）÷（3＋1）＝17（分），
即每一考生的平均分70（分）比錄取分數線少了17（分）。因此，實際錄取的分數線是
70＋17＝87（分）。
解 70＋（26×3－10×1）÷（3＋1） ＝70＋17 ＝87（分）。
70＋（26×3－10×1）÷（3＋1）
＝70＋17
＝87（分）。
答 錄取分數線是87分。
錄取分數線是87分。
例6 A、B、C、D四個數，每次去掉一個數，將其餘3個數求平均數，這樣算了4次，得到以下4個數：45、60、65、70，問原四個數的平均數是多少？
A、B、C、D四個數，每次去掉一個數，將其餘3個數求平均數，這樣算了4次，得到以下4個數：45、60、65、70，問原四個數的平均數是多少？
分析 我們先分別去掉其中的一個數，將可以求出其它三個數的和，即 B＋C＋D＝45×3＝135， A＋C＋D＝60×3＝180， A＋B＋D＝65×3＝195， A＋B＋C＝70×3＝210。 把這四個式子相加得到 3個A＋3個B＋3個C＋3個D 的總和，這樣就可以求出A、B、C、D四個數的和，進而可求得原四個數的平均數。
我們先分別去掉其中的一個數，將可以求出其它三個數的和，即
B＋C＋D＝45×3＝135，
A＋C＋D＝60×3＝180，
A＋B＋D＝65×3＝195，
A＋B＋C＝70×3＝210。
把這四個式子相加得到
3個A＋3個B＋3個C＋3個D
的總和，這樣就可以求出A、B、C、D四個數的和，進而可求得原四個數的平均數。
解 （45×3＋60×3＋65×3＋70×3）÷3÷4 ＝720÷3÷4 ＝240÷4 ＝60。
（45×3＋60×3＋65×3＋70×3）÷3÷4
＝720÷3÷4
＝240÷4
＝60。
答 A、B、C、D四個數的平均數是60。
A、B、C、D四個數的平均數是60。
說明 本題也可以簡算如下：因為 （45×3＋60×3＋65×3＋70×3）÷3÷4 ＝（45＋60＋65＋70）×3÷3÷4 ＝（45＋60＋65＋70）÷4。 所以，可直接列出算式： （45＋60＋65＋70）÷4 來解答。其道理是： 將3個數求平均數，就是用每個數的相加，在4次計算中，每個數只出現了3次，也就是每個數的加了3次，正好是原數。因此把45、60、65、70相加，恰好是A、B、C、D這四個數的總和，再除以4當然就是A、B、C、D的平均數了。
本題也可以簡算如下：因為
＝（45＋60＋65＋70）×3÷3÷4
＝（45＋60＋65＋70）÷4。
所以，可直接列出算式：
（45＋60＋65＋70）÷4
來解答。其道理是：
將3個數求平均數，就是用每個數的相加，在4次計算中，每個數只出現了3次，也就是每個數的加了3次，正好是原數。因此把45、60、65、70相加，恰好是A、B、C、D這四個數的總和，再除以4當然就是A、B、C、D的平均數了。
例7 已知下列各數： 11、7、19、23、15、27、31。 試求它們的平均數。
已知下列各數：
11、7、19、23、15、27、31。
試求它們的平均數。
分析 仔細觀察這7個數，並將它們從小到大排列，便可發現它們可構成等差數列。於是可以根據等差數列求平均數的性質求它們的平均數。
仔細觀察這7個數，並將它們從小到大排列，便可發現它們可構成等差數列。於是可以根據等差數列求平均數的性質求它們的平均數。
解 將所給的數從小到大重新排列得 7、11、15、19、23、27、31。 （1） 因為（1）中每相鄰兩個數，後一個減去前一個的差都等於4，所以（1）是等差數列。又因為等差數列（1）的個數（7個）是奇數個，故所求的平均數就是（1）中間的那個數19。
將所給的數從小到大重新排列得
7、11、15、19、23、27、31。 （1）
因為（1）中每相鄰兩個數，後一個減去前一個的差都等於4，所以（1）是等差數列。又因為等差數列（1）的個數（7個）是奇數個，故所求的平均數就是（1）中間的那個數19。
說明 當然求這幾個數的平均數可以按照最原始的方法，將它們相加所得的和再被7除即可，但觀察所給數據的特點，根據等差數列的概念和等差數列求平均數的思想，那麼求它們的平均數就相當方便簡捷了。 如果再求例7中已知7個數的和，那麼只要將平均數19乘以7即可。這就更能體會到等差數列求平均數思想的優越性。
當然求這幾個數的平均數可以按照最原始的方法，將它們相加所得的和再被7除即可，但觀察所給數據的特點，根據等差數列的概念和等差數列求平均數的思想，那麼求它們的平均數就相當方便簡捷了。
如果再求例7中已知7個數的和，那麼只要將平均數19乘以7即可。這就更能體會到等差數列求平均數思想的優越性。
內容取材自上海華東師範大學出版社《奧數教程》，現代教育研究社及華東師範大學出版社聯合出版。版權所有，不得翻印。
