奧林匹克數學教材庫第三冊內容

二、例題精講

請先思考一下以下例題，然後按例題來顯示有關解說。

伸出你的左手，從大拇指開始如圖所示的那樣數數字，1，2，3，…。問：數到1995時，你數在哪個手指上？

分析

大拇指是1，食指是2，中指是3，無名指是4，小指是5，然後往回數，無名指6，中指是7，食指是8，拇指是9，再往回數。按照這個規則一直數到1995的方法是不可取的，因此要從中發現規律，比如拇指開始是1，此後每數過8個數就又回到大拇指，因此，數在大拇指時的數一定是被8除餘1的數，這就為我們找到了重要線索。

解

因為1,993＝8×249＋1，所以按分析中找到的規律，可知數到1,993落到在大拇指上。接下去數，1,994在食指，1,995在中指。

答

數到1,995時，1,995這個數在中指處。

例2

已知1995年元旦是星期日，問1997年的7月1日是星期幾？

分析

由於每星期共七天，呈循環狀態，因此只要算出1995年1月1日到1997年7月1日共經過多少天，然後被7去除，用所得餘數就可判定1997年7月1日是星期幾。

解

1995年經過一個整年（365天），1996年一個整年（是個閏年366天），到了1997年再經過六個月後到7月1日，總計經過了

365＋366＋31＋28＋31＋30＋31＋30＋1＝913（天）

而913÷7＝130…3

由於1995年1月1日是星期日，所以每個周期開始的第一天都星期日，其排列順序為：

星期日、一、二、三、四、五、六。

1997年7月1日是從1995年1月1日起算第131個循環中的第3天，所以1997年7月1日是星期二。

答

1997年7月1日應是星期二。

例3

1～1,001各數按表中的格式排列，其中用一個正方形框框出的九個數，要使這樣框出的九個數之和等於

（1）1,986；（2）2,529；（3）1,989。

問是否能辦得到？如果辦不到，簡單說明理由；如果辦得到，請寫出所框正方形裏的最大的數和最小的數。

分析

通過仔細觀察和分析，發現圖中方框中間的數（即18）是方框中九個數的平均數，即方框裏九個數的和一定是9的倍數。這個結論，對任意畫的九個數方框都是正確的，因為方框中的數相鄰兩行差7，相鄰兩列差1，所以一般形式如圖所示。

易知九個數之和為

（ａ－8）＋（ａ－7）＋（ａ－6）＋（ａ－1）＋ａ＋（ａ＋1）＋（ａ＋6）＋（ａ＋7）＋（ａ＋8）＝9ａ。

所以方框中間數為這九個數的平均數，九個數之和一定是九的倍數。我們正是以這個結論去判斷所要解決的問題。

解

（1）因為1,986不能被9整除，所以無論怎樣框方框，框中九個數之和都不可能等於1,986。

（2）易知2,529÷9＝281，注意能被9整除只是框中九數和等於2,529的必要條件。因為，被9整除的數未必都會成為框中九數的和數。所以，必須經過驗證才能確認。

由於框中九數和的平均數為281，即若框出這九個數，中間一個數必為281，而281必須在第2列至第6列，第2行至第142行之內才可能成為所框方框的中間數。由於281÷7＝40餘1，即281落在第41行的第1列，因此281不可能作為九個數方框的中間數。所以在表6-2中不存在這樣的方框，使框中數之和為2,529。

（3）按（2）中的分析方法，由於1,989÷9＝221，這只是存在所框方框內9數之和為1,989的可能性，關鍵在確定方框中間數221的位置，而221÷7＝31…4，所以211是在第32行的第4個數，即所框九數如圖所示。