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二、例題精講
請先思考一下以下例題，然後按例題來顯示有關解說。
例3 
在568後面補上三個數字，組成一個六位數，使它能分別被3、4、5整除，且使這個數盡可能的小。
解
不妨設補上三個數字後面的位數為 。由於這個六位數分別被3、4、5整除，故它應滿足如下三個條件：
（1）數字和（5＋6＋8＋ａ＋ｂ＋ｃ）是3的倍數；
（2）末兩位數組成的兩位數 是4的倍數；
（3）末位ｃ為0或5。
由於 ，故ｃ不能是5而只能是0，且ｂ只可能是2，4，6，8，0。
又因3｜5＋6＋8＋ａ＋ｂ＋ｃ），即3｜5＋6＋8＋ａ＋ｂ＋0），所以
當ｂ＝2時，3｜（5＋6＋8＋ａ＋2），ａ可為0，3，6，9；
當ｂ＝4時，3｜（5＋6＋8＋ａ＋4），ａ可為1，4，7；
當ｂ＝6時，3｜（5＋6＋8＋ａ＋6），ａ可為2，5，8；
當ｂ＝8時，3｜（5＋6＋8＋ａ＋8），ａ可為0，3，6，9；
當ｂ＝0時，3｜（5＋6＋8＋ａ＋0），ａ可為2，5，8。
為了使六位數 盡可能地小，則ａ應取0、ｂ應取2、ｃ應取0。
故能被3、4、5整除的最小六位數 應為568,020。
例4
已知四位數 是11的倍數，且有ｂ＋ｃ＝ａ， 為完全平方數，
求此四位數。
分析
在三個已知條件中，ｂ＋ｃ＝ａ說明給出ｂ和ｃ，ａ就隨之給定。再由11｜ ，可定ｄ。而 為完全平方數，將ｂ和ｃ的取值定在兩位平方數的十位和個位數字範圍中，只要從這個範圍中挑選符合要求的即可。
解
由 完全平方數，只可能為16，25，36，49，64，81這六種情況。由ｂ＋ｃ＝ａ，此時相應的ａ為7，7，9，13，10，9。 其中13和10顯然不可能是四位數的千位數字。
在 ， ， ， 這四種可能性中，由 ，應有11｜（ｄ＋ｂ）－（ａ＋ｃ），
即11｜（ｄ＋1）－（7＋6）時，ｄ可為1；
11｜（ｄ＋2）－（7＋5）這種ｄ不存在；
11｜ｄ＋3－（9＋6）時，ｄ可為1；
11｜ｄ＋8－（9＋1）時，ｄ可為2。
故滿足條件的四位數有：7,161，9,361，9,812。
記住
為完全平方數，表示是兩位整數，ｂ≠0，因此，不考慮00，01，04， 09這四種情況，否則還應加上1,012，4,048，9,097這三個四位數。
例7
下面這個41位數
能被7整除，問中間方格代表的數字是幾？
解
因為555,555＝5×111,111，
999,999＝9×111,111，
111,111＝3×7×11×13×37。
所以555,555和999,999都能被7整除。那麼由18個5和18個9分別組成的18位數，也都能被7整除。
原數＝
右邊的三個加數中，前後兩個數都能被7整除，那麼只要中間的55□99能被7整除，原數就能被7整除。
把55,□99拆成兩個數的和：
55,A00＋B99，
其中□＝A＋B。因為7｜55,300，7｜399，所以□＝3＋3＝6。
記住
記住111,111能被7整除是很有用的。
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內容取材自上海華東師範大學出版社《奧數教程》，現代教育研究社及華東師範大學出版社聯合出版。版權所有，不得翻印。
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