十五、  質數與合數	選擇更多第三冊課題...... ---------------------------- 一、  小數的運算 二、  括號和分配律 三、  部分平均和全體平均 四、  平面圖形的周長 五、  環形道路上的行程問題 六、  週期問題 七、  雞兔同籠問題 八、  牛吃草問題 九、  邏輯推理問題 十、  畫示意圖 十一、  平面圖形的面積 十二、  三角形的等積變形 十三、  格點與面積 十四、  整數的整除 十五、  質數與合數 十六、  分解質因數 十七、  最大公約數與最小公倍數 十八、  抽屜原理 十九、  分類 二十、  換一個角度考慮問題 二十一、  定義新運算 二十二、  十進制和二進制 ---------------------------- 綜合測試題（一） 綜合測試題（二）

二、例題精講   例題： 例1 例2 例3 例4 例5   請先思考一下以下例題，然後按例題來顯示有關解說。 例1 兩個質數的和是39，這兩個質數的積是多少？ 分析 兩個數的和是39，說明這兩個數必定是一奇一偶，這兩個數都是質數，質數中只有2是偶數，因此，另一個數一定是37。 解 因2＋37＝39，而2×37＝74，所以這兩個質數的積是74。 例2 九個連續的自然數，它們都大於80，那麼其中質數最多有幾個？ 分析 我們用不同的條件做篩子，逐步加強條件的限制，使其結果明顯化。 解 由於大於2的質數一定是奇數，而大於80的九個連續自然數至多只有5個奇數，所以質數的個數不大於5個。 我們知道：在三個連續的奇數中至少有一個數是3的倍數。所以這五個連續奇數中至少有一個是合數。因此，質數至多只有四個。 如：在101至109的九個數中，質數有101，103，107，109。 例3 把33拆成若干個不同質數之和，如果要使這些質數的積最大，問這幾個質數分別是多少？ 解 首先假設可以分成五個質數之和（分成6個或6個以上質數之和不可能）：33是奇數，因此五個質數中不能有2（否則和是偶數），取最小連續五個奇質數3，5，7，11，13的和是39超過33。 所以分成五個是不可能的。 假設33可以分成四個質數之和，33是奇數。因此四個數中一定有一個偶數2，即其餘三個的和是31，顯然可以找出其餘三個分別是：3、5、23；3、11、17； 7、 11、 13； 5、7、19。 在這些三數乘積中最大的是7×11×13＝1,001。 假設33可分成三個質數和，只可能是3、13、17； 3、11、19；3、7、23；5、 11、 17。 乘積均小於2×7×11×13，33若分為兩個質數之和，只可能是2和31，乘積僅為62。 故應將33寫成四個質數：2、7、11和13的和時它們的積最大。 例4 有一個2ｎ＋1位整數（ｎ是整數，ｎ≧1）是質數還是合數？ 解 解法一 我們觀察這個數的數字特徵，可以看出，它的各個數位數字和是3的倍數。 由於ｎ＋1是整數，得3｜（ｎ＋1）×3，所以3是原數的約數，顯然3是1和原數以外的約數， 所以是合數。 解法二 把這個數的中間那個數字「3」拆開，即 所以是合數。 記住 由上面的解法中，可以看到「整除」知識在判斷質數與合數時有很大用處，要想迅速找出一個整數的約數，就要對數的整除特徵非常熟練，這對提高篩選的速度大有好處。 例5 在三張紙片上分別寫上三個最小的連續的奇質數，如果隨意從其中至少取出一張組成一個數，其中有幾個是質數？將它們寫出來。 解 分下面三種情況討論。 （1） 如果取出三張：這三個數字的和3＋5＋7＝15是3的倍數，所以任意取出三張都不可能是質數。 （2） 如果取出兩張，這時所有可能的兩位數有：35、37、53、57、73和75六個，其中質數是37、53、73。 （3） 如果只取出一張，這時3、5、7均為質數。 所以合乎要求的質數是3、5、7、37、53和73。 <- 一、知識要點和基本方法 三、練習題Ａ組 ->

內容取材自上海華東師範大學出版社《奧數教程》，現代教育研究社及華東師範大學出版社聯合出版。版權所有，不得翻印。