請先思考一下以下例題，然後按例題來顯示有關解說。
例1 如圖，在稜長為5厘米的正方體的上下、前後、左右的正中位置都挖去一個稜長為1厘米的正方體。問：此圖形的表面積是多少？
如圖，在稜長為5厘米的正方體的上下、前後、左右的正中位置都挖去一個稜長為1厘米的正方體。問：此圖形的表面積是多少？
分析 把這個完整的正方體表面積加上因挖出六個小正方體而增加的（4×6）＝24個面的面積，就是這個圖形的表面積。
把這個完整的正方體表面積加上因挖出六個小正方體而增加的（4×6）＝24個面的面積，就是這個圖形的表面積。
解 （平方厘米）
（平方厘米）
例2 某工人用薄木板釘成一個長方體的郵件包裝箱，並用尼龍編織帶如圖所示包紮。所用三條尼龍帶長分別為235厘米、445厘米、515厘米。若每個尼龍帶加固時接頭重疊都是5厘米，問這個長方體包裝箱的體積是多少立方米？
某工人用薄木板釘成一個長方體的郵件包裝箱，並用尼龍編織帶如圖所示包紮。所用三條尼龍帶長分別為235厘米、445厘米、515厘米。若每個尼龍帶加固時接頭重疊都是5厘米，問這個長方體包裝箱的體積是多少立方米？
分析 利用尼龍編織帶的長度分別求出長方體郵件的長、寬、高。
利用尼龍編織帶的長度分別求出長方體郵件的長、寬、高。
解 長方體中：寬＋高＝（235－5）÷2＝115 (1) 長＋高＝（445－5）÷2＝220 (2) 長＋寬＝（515－5）÷2＝255 (3) (2)－(1)： 長－寬＝105 (4) (4)+(3)÷2： 長＝180 從而 寬＝75 代入(1)得 高＝40 所以長方體體積為： 180×75×40＝540,000（立方厘米）＝0.54（立方米）
長方體中：寬＋高＝（235－5）÷2＝115 (1)
長＋高＝（445－5）÷2＝220 (2)
長＋寬＝（515－5）÷2＝255 (3)
(2)－(1)： 長－寬＝105 (4)
(4)+(3)÷2： 長＝180
從而 寬＝75
代入(1)得 高＝40
所以長方體體積為：
180×75×40＝540,000（立方厘米）＝0.54（立方米）
例3 一個長方體容器的底面是邊長為60厘米的正方形，在裏面直立著一個底面是邊長為15厘米的正方形、長1米的四稜柱鐵棍。這時容器裏的水深半米。現在把鐵棍輕輕地向正上方提起24厘米，露出水面的四稜柱鐵棍浸濕部分長多少厘米？
一個長方體容器的底面是邊長為60厘米的正方形，在裏面直立著一個底面是邊長為15厘米的正方形、長1米的四稜柱鐵棍。這時容器裏的水深半米。現在把鐵棍輕輕地向正上方提起24厘米，露出水面的四稜柱鐵棍浸濕部分長多少厘米？
分析 把四稜柱鐵棍向正上方提起24厘米，留下的空間被上面的水所填充。這部分水的底面為60×60－15×15（平方厘米），四稜柱鐵棍的底面為15×15（平方厘米），由於留下的空間與上面填充的水體積相等，底面積和高成反比，所以當鐵棍提起24厘米時，水面將下降： （厘米）
把四稜柱鐵棍向正上方提起24厘米，留下的空間被上面的水所填充。這部分水的底面為60×60－15×15（平方厘米），四稜柱鐵棍的底面為15×15（平方厘米），由於留下的空間與上面填充的水體積相等，底面積和高成反比，所以當鐵棍提起24厘米時，水面將下降：
（厘米）
解 鐵棍露出水面的浸濕部分的長為24＋1.6＝25.6（厘米）。
鐵棍露出水面的浸濕部分的長為24＋1.6＝25.6（厘米）。
例4 圖（1）是一個正方體，四邊形APQC是表示用平面截正方體所得截面。請在展開圖（2）中畫出四邊形APQC的四條邊。 （1）（2）
圖（1）是一個正方體，四邊形APQC是表示用平面截正方體所得截面。請在展開圖（2）中畫出四邊形APQC的四條邊。
（1）（2）
分析 把空間圖形表面的線條畫在平面展開圖上，只要抓住四邊形APQC四個頂點所在的位置這個關鍵，再進一步確定四邊形的四條邊所在的平面就可容易地畫出。
把空間圖形表面的線條畫在平面展開圖上，只要抓住四邊形APQC四個頂點所在的位置這個關鍵，再進一步確定四邊形的四條邊所在的平面就可容易地畫出。
解 考慮到展開圖上各頂點沒有標出，可將展開和折成對應，從A點逐漸標出，見圖（1）和（2）。然後畫出四邊形APQC的四條邊，如圖（3）。 （1）（2）（3）
考慮到展開圖上各頂點沒有標出，可將展開和折成對應，從A點逐漸標出，見圖（1）和（2）。然後畫出四邊形APQC的四條邊，如圖（3）。
（1）（2）（3）
例5 有6個稜長分別是3厘米、4厘米、5厘米的相同的長方體，把它們的某些面染上紅色，使得有的長方體只有一個面是紅色的，有的長方體恰有兩個面是紅色的，有的長方體恰有三個面是紅色的，有的長方體恰有四個面是紅色的，有的長方體恰有五個面是紅色的，還有一個長方體六個面都是紅色的，染色後把所有長方體分割成稜長為1厘米的小正方體。分割完畢後，恰有一個面是紅色的正方體最多有（ ）個。
有6個稜長分別是3厘米、4厘米、5厘米的相同的長方體，把它們的某些面染上紅色，使得有的長方體只有一個面是紅色的，有的長方體恰有兩個面是紅色的，有的長方體恰有三個面是紅色的，有的長方體恰有四個面是紅色的，有的長方體恰有五個面是紅色的，還有一個長方體六個面都是紅色的，染色後把所有長方體分割成稜長為1厘米的小正方體。分割完畢後，恰有一個面是紅色的正方體最多有（ ）個。
解 只有一個面是紅色的長方體分割後，恰有一面是紅色的小正方體最多有： 4×5＝20（個） 恰有兩個面是紅色的長方體分割後，恰有一面是紅色的小正方體最多有： 2×4×5＝40（個） 恰有三個面是紅色的長方體分割後，恰有一面是紅色的小正方體最多有： 40－（4＋4）＋4＝36（個） 恰有四個面是紅色的長方體分割後，恰有一面是紅色的小正方體最多有： 36－（4＋4）＋4＝32（個） 恰有五個面是紅色的長方體分割後，恰有一面是紅色的小正方體最多有： 32－（2＋3＋3）＋3＝27（個） 六個面都是紅色的長方體分割後，恰有一面是紅色的小正方體最多有： 27－（2＋3＋3）＋3＝22（個） 因此，6個長方體分割完畢後，恰有一個面是紅色的正方體最多有： 20＋40＋36＋32＋27＋22＝177（個）
只有一個面是紅色的長方體分割後，恰有一面是紅色的小正方體最多有：
4×5＝20（個）
恰有兩個面是紅色的長方體分割後，恰有一面是紅色的小正方體最多有：
2×4×5＝40（個）
恰有三個面是紅色的長方體分割後，恰有一面是紅色的小正方體最多有：
40－（4＋4）＋4＝36（個）
恰有四個面是紅色的長方體分割後，恰有一面是紅色的小正方體最多有：
36－（4＋4）＋4＝32（個）
恰有五個面是紅色的長方體分割後，恰有一面是紅色的小正方體最多有：
32－（2＋3＋3）＋3＝27（個）
六個面都是紅色的長方體分割後，恰有一面是紅色的小正方體最多有：
27－（2＋3＋3）＋3＝22（個）
因此，6個長方體分割完畢後，恰有一個面是紅色的正方體最多有：
20＋40＋36＋32＋27＋22＝177（個）
例6 一個長、寬和高分別為19厘米、14厘米和10厘米的長方體，現從它的上面盡可能大地切下一個正方體，然後從剩餘的部分再盡可能大地切下一個正方體，最後再從第二次剩餘的部分盡可能大地切下一個正方體，剩下的體積是多少立方厘米？
一個長、寬和高分別為19厘米、14厘米和10厘米的長方體，現從它的上面盡可能大地切下一個正方體，然後從剩餘的部分再盡可能大地切下一個正方體，最後再從第二次剩餘的部分盡可能大地切下一個正方體，剩下的體積是多少立方厘米？
分析 顯然第一次切下盡可能大的正方體的稜長是10厘米，其體積是（立方厘米）。 這時剩餘部分立體圖的底面如圖（1），所以第二次切下盡可能大的正方體的稜長是9厘米，其體積是（立方厘米）。 這時剩餘部分除去一片正方形薄片後的立體圖底面如圖（2），因此第三次切下盡可能大的正方體的稜長是5厘米，其體積是（立方厘米）。 這樣就可以算出最後剩下的體積了。 （1）（2）
顯然第一次切下盡可能大的正方體的稜長是10厘米，其體積是（立方厘米）。
這時剩餘部分立體圖的底面如圖（1），所以第二次切下盡可能大的正方體的稜長是9厘米，其體積是（立方厘米）。
這時剩餘部分除去一片正方形薄片後的立體圖底面如圖（2），因此第三次切下盡可能大的正方體的稜長是5厘米，其體積是（立方厘米）。
這樣就可以算出最後剩下的體積了。
解 （立方厘米）。
（立方厘米）。
內容取材自上海華東師範大學出版社《奧數教程》，現代教育研究社及華東師範大學出版社聯合出版。版權所有，不得翻印。
