請先思考一下以下例題，然後按例題來顯示有關解說。
例1 兩隻同樣的墨水瓶，一隻墨水瓶中裝了100毫升紅墨水，另一個墨水瓶中裝了20毫升藍墨水。用一根吸管，先從紅墨水瓶中吸出1毫升墨水，滴入藍墨水瓶中，並且攪勻後，再從藍墨水瓶吸出1毫升墨水，滴入紅墨水瓶中。問紅墨水瓶子中的藍墨水和藍墨水瓶中紅墨水哪個多？
兩隻同樣的墨水瓶，一隻墨水瓶中裝了100毫升紅墨水，另一個墨水瓶中裝了20毫升藍墨水。用一根吸管，先從紅墨水瓶中吸出1毫升墨水，滴入藍墨水瓶中，並且攪勻後，再從藍墨水瓶吸出1毫升墨水，滴入紅墨水瓶中。問紅墨水瓶子中的藍墨水和藍墨水瓶中紅墨水哪個多？
分析 題目中有具體的數值，可能你會去算含量的百分比，通過這樣的計算能算出結論，但是如果深入想想，撇開具體的中間過程，撇開具體的數值，從整體考慮，就不難想到兩個墨水瓶的總容量不變，紅墨水瓶中仍有100毫升墨水，藍墨水瓶中也仍然有20毫升墨水。假設紅墨水瓶中有ｘ毫升紅墨水倒入藍墨水瓶中，那麼同樣有ｘ毫升藍墨水被倒入紅墨水瓶中。所以最後紅墨水瓶子中的藍墨水和藍墨水瓶中紅墨水同樣多。
題目中有具體的數值，可能你會去算含量的百分比，通過這樣的計算能算出結論，但是如果深入想想，撇開具體的中間過程，撇開具體的數值，從整體考慮，就不難想到兩個墨水瓶的總容量不變，紅墨水瓶中仍有100毫升墨水，藍墨水瓶中也仍然有20毫升墨水。假設紅墨水瓶中有ｘ毫升紅墨水倒入藍墨水瓶中，那麼同樣有ｘ毫升藍墨水被倒入紅墨水瓶中。所以最後紅墨水瓶子中的藍墨水和藍墨水瓶中紅墨水同樣多。
例2 甲、乙兩隊學生從相距19公里的兩地出發，相對而行，有個學生騎自行車以每10分鐘2.5公里的速度在兩隊學生之間往返聯絡，（停息時間不計）。騎自行車的學生與甲、乙兩隊學生同時出發，如果甲隊學生每小時行4.8公里，乙隊學生每小時走4.7公里，當兩隊相遇時，騎自行車的學生共行了多少公里？
甲、乙兩隊學生從相距19公里的兩地出發，相對而行，有個學生騎自行車以每10分鐘2.5公里的速度在兩隊學生之間往返聯絡，（停息時間不計）。騎自行車的學生與甲、乙兩隊學生同時出發，如果甲隊學生每小時行4.8公里，乙隊學生每小時走4.7公里，當兩隊相遇時，騎自行車的學生共行了多少公里？
分析 這題若去計算騎自行車者每個來回所花的時間，那麼問題就複雜了。我們撇開細節，已知自行車的車速，只要計算出這個騎自行車學生的騎車時間，就能求出騎自行車的學生共行了多少公里。實際上這個時間就是甲、乙兩隊學生相遇所用的時間，也就是 19÷（4.8＋4.7）＝2（小時）＝120（分鐘）。 所以騎自行車的學生共行了2.5×（120÷10）＝30（公里）。
這題若去計算騎自行車者每個來回所花的時間，那麼問題就複雜了。我們撇開細節，已知自行車的車速，只要計算出這個騎自行車學生的騎車時間，就能求出騎自行車的學生共行了多少公里。實際上這個時間就是甲、乙兩隊學生相遇所用的時間，也就是
19÷（4.8＋4.7）＝2（小時）＝120（分鐘）。
所以騎自行車的學生共行了2.5×（120÷10）＝30（公里）。
例3 如圖，長方形的長為14厘米，寬8厘米，求圖中陰影部分的面積。
如圖，長方形的長為14厘米，寬8厘米，求圖中陰影部分的面積。
分析 陰影部分是四個三角形。三角形的面積等於底乘以高的一半。就每個三角形而言，高都是8厘米，底卻不知道，而且沒法知道。怎麼辦？從整體上考慮。實際上四個三角形的底的和正好是長方形的長，而它們的高和長方形的寬相等。於是陰影部分的面積為： 14×8÷2＝56（平方厘米）。
陰影部分是四個三角形。三角形的面積等於底乘以高的一半。就每個三角形而言，高都是8厘米，底卻不知道，而且沒法知道。怎麼辦？從整體上考慮。實際上四個三角形的底的和正好是長方形的長，而它們的高和長方形的寬相等。於是陰影部分的面積為：
14×8÷2＝56（平方厘米）。
例4 如圖，一個周長為10厘米的大圓內有許多小圓，這些小圓的圓心都在大圓的一條直徑上。求小圓的周長之和。
如圖，一個周長為10厘米的大圓內有許多小圓，這些小圓的圓心都在大圓的一條直徑上。求小圓的周長之和。
分析 每個小圓的半徑是未知的，但所有小圓的直徑加起來正好是大圓的直徑。圓的周長等於直徑乘以圓周率，所以 所有小圓的周長之和＝第一個小圓直徑×圓周率＋ 第二個小圓直徑×圓周率＋… ＝所有小圓的直徑的和×圓周率 ＝大圓直徑×圓周率＝大圓周長 ＝10（厘米）
每個小圓的半徑是未知的，但所有小圓的直徑加起來正好是大圓的直徑。圓的周長等於直徑乘以圓周率，所以
所有小圓的周長之和＝第一個小圓直徑×圓周率＋
第二個小圓直徑×圓周率＋…
＝所有小圓的直徑的和×圓周率
＝大圓直徑×圓周率＝大圓周長
＝10（厘米）
例5 如圖，第一行有6個數，第一列有5個數，其他位置上的每個數都是它所在行的第一列上的數與所在列的第一行上數的積，比如表中「*」位上的數是12×11＝132，「△」位上的數是14×3＝42，求圖中除第一行和第一列外其他數的和。
如圖，第一行有6個數，第一列有5個數，其他位置上的每個數都是它所在行的第一列上的數與所在列的第一行上數的積，比如表中「*」位上的數是12×11＝132，「△」位上的數是14×3＝42，求圖中除第一行和第一列外其他數的和。
分析 在做這題時容易想到，把所有30個空格中各數一一計算出來再求它們的和，但這不是解決問題的最好方法。 看看每一個空格中的數的特點，它是左邊第一個數與上面第一數的乘積，第二行6個空格中的數都是8與第一行各數乘積，於是第二行6個空格中數的和等於 8×（9＋11＋7＋15＋3＋19）。 同樣地，第三行6個空格中數的等於 12×（9＋11＋7＋15＋3＋19）。 第四行、第五行、第六行也有類似的結果。 所以，全部30個數的和等於 （8＋12＋14＋10＋20）×（9＋11＋7＋15＋3＋19） ＝64×64 ＝4096。 這樣就簡化了計算。
在做這題時容易想到，把所有30個空格中各數一一計算出來再求它們的和，但這不是解決問題的最好方法。
看看每一個空格中的數的特點，它是左邊第一個數與上面第一數的乘積，第二行6個空格中的數都是8與第一行各數乘積，於是第二行6個空格中數的和等於
8×（9＋11＋7＋15＋3＋19）。
同樣地，第三行6個空格中數的等於
12×（9＋11＋7＋15＋3＋19）。
第四行、第五行、第六行也有類似的結果。
所以，全部30個數的和等於
（8＋12＋14＋10＋20）×（9＋11＋7＋15＋3＋19）
＝64×64
＝4096。
這樣就簡化了計算。
例6 求數700的所有約數之和。
求數700的所有約數之和。
分析 把700分解質因數，。 可以知道700共有（2＋1）×（2＋1）×（1＋1）＝18個約數。當然我們可以把700的18個約數一一列舉出來再求它們的和，只是計算量比較大，能否簡單些呢?讓我們從整體上去分析一下。每個約數都是若干個2、5、7的乘積。如，它是700的一個約數，是0個2與2個5，1個7的乘積。 因此700的每一個約數都是 利用乘法分配律展開後得到的某一項。這樣700的所有約數的和為 。
把700分解質因數，。
可以知道700共有（2＋1）×（2＋1）×（1＋1）＝18個約數。當然我們可以把700的18個約數一一列舉出來再求它們的和，只是計算量比較大，能否簡單些呢?讓我們從整體上去分析一下。每個約數都是若干個2、5、7的乘積。如，它是700的一個約數，是0個2與2個5，1個7的乘積。
因此700的每一個約數都是
利用乘法分配律展開後得到的某一項。這樣700的所有約數的和為
。
內容取材自上海華東師範大學出版社《奧數教程》，現代教育研究社及華東師範大學出版社聯合出版。版權所有，不得翻印。
