請先思考一下以下例題，然後按例題來顯示有關解說。
例1 按下列各數列的排列規律，在括號內填上合適的數。 （1）1，4，7，10，13，（ ），19； （2）2，4，8，16，32，（ ），（ ）； （3）2，4，6，8，10，（ ），（ ）。
按下列各數列的排列規律，在括號內填上合適的數。
（1）1，4，7，10，13，（ ），19；
（2）2，4，8，16，32，（ ），（ ）；
（3）2，4，6，8，10，（ ），（ ）。
解 （1）不難發現，從第2項起，後面一項減去前面一項的差都等於3。因此，括號中應填的數是16，即19－3＝16。 （2）從第2項起，後面一項都是前面一項的2倍。因為 32×2＝64， 64×2＝128， 所以括號內應填入64，128。 （3）從第2項起，後面一項與前面一項相減所得的差都等於2，因此 10＋2＝12， 12＋2＝14， 括號內應填入12，14。
（1）不難發現，從第2項起，後面一項減去前面一項的差都等於3。因此，括號中應填的數是16，即19－3＝16。
（2）從第2項起，後面一項都是前面一項的2倍。因為
32×2＝64，
64×2＝128，
所以括號內應填入64，128。
（3）從第2項起，後面一項與前面一項相減所得的差都等於2，因此
10＋2＝12，
12＋2＝14，
括號內應填入12，14。
例2 有一排加法算式：4＋2，5＋8，6＋14，7＋20，…。按這規律排的第10個加法算式是怎樣的？它的結果是多少？
有一排加法算式：4＋2，5＋8，6＋14，7＋20，…。按這規律排的第10個加法算式是怎樣的？它的結果是多少？
解 對於這排加法算式，前面一個數構成數列：4，5，6，7，…；後一個數構成數列：2，8，14，20，…。所以只要知道這兩個數列的第10項即可以知道這排算式的第10個。 對於數列4，5，6，7，…，由觀察得知，第2項等於第1項加上1，第3項等於第1項加上2，第4項等於第1項加上3，…，所以第10項等於第1項加上9，即4＋9＝13。 同理，數列：2，8，14，20，…，第2項等於第1項加上1×6，第3項等於第1項加上2×6，第4項等於第1項加上3×6，……，所以第10項等於第1項加上9×6，即2＋9×6＝56。 所以，這排算式的第10個為13＋56。從而第10個算式的結果為69。 思考 如何求出這排加法算式的第1999個？
對於這排加法算式，前面一個數構成數列：4，5，6，7，…；後一個數構成數列：2，8，14，20，…。所以只要知道這兩個數列的第10項即可以知道這排算式的第10個。
對於數列4，5，6，7，…，由觀察得知，第2項等於第1項加上1，第3項等於第1項加上2，第4項等於第1項加上3，…，所以第10項等於第1項加上9，即4＋9＝13。
同理，數列：2，8，14，20，…，第2項等於第1項加上1×6，第3項等於第1項加上2×6，第4項等於第1項加上3×6，……，所以第10項等於第1項加上9×6，即2＋9×6＝56。
所以，這排算式的第10個為13＋56。從而第10個算式的結果為69。
思考 如何求出這排加法算式的第1999個？
例3 找出下列各數列的排列規律，並在括號內填入適當的數。 （1）25，3，22，3，19，3，（ ），（ ）； （2）8，1，10，2，12，3，（ ），（ ）； （3）15，6，13，7，11，8，（ ），（ ）。
找出下列各數列的排列規律，並在括號內填入適當的數。
（1）25，3，22，3，19，3，（ ），（ ）；
（2）8，1，10，2，12，3，（ ），（ ）；
（3）15，6，13，7，11，8，（ ），（ ）。
解 （1）由觀察可以知道，所有的雙數項全是由3組成；再來看一下剩下來的單數項，從第2個單數項起，每一個都比前一個單數項少3。所以括號內應該填入16，3。 （2）由於受（1）影響，我們仍把這個數列分為由單數項組成的數列和由雙數項組成的數列來分別考慮。所有單數項數構成的數列，從第2個單數項起，每一個都比前面一個多2；所有雙數項數組成的數列，從第2個雙數項起，每一個都比前一個多1。所以括號內為：14，4。 （3）所有單數項構成數列 15，13，11，…。 所有雙數項構成數列 6，7，8，…。 所以括號內應填9，9。 如例3所示，對於一些數列，我們為了找出它的規律，可以把這個數列拆成分別由單數項和由雙數項構成的兩個數列來考慮。
（1）由觀察可以知道，所有的雙數項全是由3組成；再來看一下剩下來的單數項，從第2個單數項起，每一個都比前一個單數項少3。所以括號內應該填入16，3。
（2）由於受（1）影響，我們仍把這個數列分為由單數項組成的數列和由雙數項組成的數列來分別考慮。所有單數項數構成的數列，從第2個單數項起，每一個都比前面一個多2；所有雙數項數組成的數列，從第2個雙數項起，每一個都比前一個多1。所以括號內為：14，4。
（3）所有單數項構成數列
15，13，11，…。
所有雙數項構成數列
6，7，8，…。
所以括號內應填9，9。
如例3所示，對於一些數列，我們為了找出它的規律，可以把這個數列拆成分別由單數項和由雙數項構成的兩個數列來考慮。
例4 觀察已給數列，在括號中填入所缺的數。1，1，2，3，5，8，13，（ ），34，…。
觀察已給數列，在括號中填入所缺的數。1，1，2，3，5，8，13，（ ），34，…。
分析 這個數列就是人們常說的斐波那契（中世紀意大利著名數學家）數列。 下面我們一起來看看斐波那契數列的特點。仔細觀察就會發現： 1＋1＝2，1＋2＝3，2＋3＝5，…，即相鄰兩項之和等於緊接在它們後面的項。所以，我們可以得出括號內應填的數。
這個數列就是人們常說的斐波那契（中世紀意大利著名數學家）數列。
下面我們一起來看看斐波那契數列的特點。仔細觀察就會發現：
1＋1＝2，1＋2＝3，2＋3＝5，…，即相鄰兩項之和等於緊接在它們後面的項。所以，我們可以得出括號內應填的數。
解 括號內應填入8＋13＝21。
括號內應填入8＋13＝21。
例5 觀察已有數的規律，在（ ）內填入恰當的數
觀察已有數的規律，在（ ）內填入恰當的數
解 這稱為楊輝三角。它的形狀像三角形，是我國宋代數學家楊輝最早在他的《詳解九章算法》中給出的。 如果把它從上到下分層，每層最外面兩個數都是1；從第三層起，除去最外面兩個數，其他數都等於在它肩上的兩個數的和。即 2＝1＋1， 3＝1＋2， 4＝1＋3， 6＝3＋3， 所以，第六層括號內應填的數為 5（＝1＋4），10（＝4＋6），10（＝6＋4），5（＝4＋1）。 你能根據這一規律，寫出第七層、第八層的所有數嗎？
這稱為楊輝三角。它的形狀像三角形，是我國宋代數學家楊輝最早在他的《詳解九章算法》中給出的。
如果把它從上到下分層，每層最外面兩個數都是1；從第三層起，除去最外面兩個數，其他數都等於在它肩上的兩個數的和。即
2＝1＋1，
3＝1＋2，
4＝1＋3，
6＝3＋3，
所以，第六層括號內應填的數為
5（＝1＋4），10（＝4＋6），10（＝6＋4），5（＝4＋1）。
你能根據這一規律，寫出第七層、第八層的所有數嗎？
例6 觀察下面數列的規律，在括號內填上適當的數。 （1）3，5，9，15，23，33，45，（ ）； （2）1，4，11，29，76，199，521，（ ）； （3）1，4，9，16，25，（ ），49，64。
觀察下面數列的規律，在括號內填上適當的數。
（1）3，5，9，15，23，33，45，（ ）；
（2）1，4，11，29，76，199，521，（ ）；
（3）1，4，9，16，25，（ ），49，64。
解 （1）觀察一下這列數，從第2項起，每一項與前面一項之差依次為2，4，6，8，…，即相差2的1倍，2倍，3倍，4倍，…。所以括號內應為45＋2×7＝59。 （2）這一數列的規律比較隱蔽，不容易一下找出來。注意從第2項起，每一項的前一項與後一項相加，正好是這一項的3倍：1＋11＝3×4，4＋29＝3×11，11＋76＝3×29，…，所以括號內的數應為521×3－199＝1,364。 （3）方法一： 從第2項起，每一項減去它前面一項所得的數組成數列：3，5，7，9，…，所以括號內應填入25＋11＝36。 方法二： 第1項等於1×1，第2項等於2×2，第3項等於3×3，第4項等於4×4，…。所以，括號內應填入6×6＝36。
（1）觀察一下這列數，從第2項起，每一項與前面一項之差依次為2，4，6，8，…，即相差2的1倍，2倍，3倍，4倍，…。所以括號內應為45＋2×7＝59。
（2）這一數列的規律比較隱蔽，不容易一下找出來。注意從第2項起，每一項的前一項與後一項相加，正好是這一項的3倍：1＋11＝3×4，4＋29＝3×11，11＋76＝3×29，…，所以括號內的數應為521×3－199＝1,364。
（3）方法一：
從第2項起，每一項減去它前面一項所得的數組成數列：3，5，7，9，…，所以括號內應填入25＋11＝36。
方法二：
第1項等於1×1，第2項等於2×2，第3項等於3×3，第4項等於4×4，…。所以，括號內應填入6×6＝36。
例7 請將0∼9這十個數字填入下列每一題的十個方框中，每個方框中只能填入一個數字，而且這十個數字在每一小題中不能重複使用。 （1）按給定的規則填數，規則為「加2」，即左邊的數加2等於右邊的數。 3→□；10→□□；1→□； □→□；□→1□；□→□。 （2）自己找規則填數，規則為「減」。 5→4；□→6；9→□； □→3；□→□； 1□→□；□→□。
請將0∼9這十個數字填入下列每一題的十個方框中，每個方框中只能填入一個數字，而且這十個數字在每一小題中不能重複使用。
（1）按給定的規則填數，規則為「加2」，即左邊的數加2等於右邊的數。
3→□；10→□□；1→□；
□→□；□→1□；□→□。
（2）自己找規則填數，規則為「減」。
5→4；□→6；9→□；
□→3；□→□；
1□→□；□→□。
解 （1）由於規則為「加2」，所以第1個式子中的方框應填5，第2個式子中的方框應分別填入1與2，第3個式子中的方框內填3。 再看第5個式子，左邊是1位數，右邊是2位數，所以左邊只能填8或9，如果填8的話，那麼右邊填0；如果填9的話，那麼右邊填1。由於1在第2個式中已用過，所以第5個式子的左邊只能填8，右邊填0。 最後，由於只剩下4、6、7、9四個數，所以剩下的兩個式子的左邊和右邊應分別填入4與6、7與9。 （2）首先，由於5→4，所以規則為「減1」（即左邊的數減1等於右邊的數）。從而第2、第3、第4式中的方框應分別填入7、8、4。 再看一下第6個式子，由於左邊是2位數，右邊是1位數，所以這1位數必定為9（為甚麼？）。從而第6個式子左邊與右邊應分別填入0與9。 最後，又由於只剩下2、3、5、6四個數，可得剩下兩式的左邊與右邊應分別填入3與2、6與5。
（1）由於規則為「加2」，所以第1個式子中的方框應填5，第2個式子中的方框應分別填入1與2，第3個式子中的方框內填3。
再看第5個式子，左邊是1位數，右邊是2位數，所以左邊只能填8或9，如果填8的話，那麼右邊填0；如果填9的話，那麼右邊填1。由於1在第2個式中已用過，所以第5個式子的左邊只能填8，右邊填0。
最後，由於只剩下4、6、7、9四個數，所以剩下的兩個式子的左邊和右邊應分別填入4與6、7與9。
（2）首先，由於5→4，所以規則為「減1」（即左邊的數減1等於右邊的數）。從而第2、第3、第4式中的方框應分別填入7、8、4。
再看一下第6個式子，由於左邊是2位數，右邊是1位數，所以這1位數必定為9（為甚麼？）。從而第6個式子左邊與右邊應分別填入0與9。
最後，又由於只剩下2、3、5、6四個數，可得剩下兩式的左邊與右邊應分別填入3與2、6與5。
內容取材自上海華東師範大學出版社《奧數教程》，現代教育研究社及華東師範大學出版社聯合出版。版權所有，不得翻印。
