請先思考一下以下例題，然後按例題來顯示有關解說。
例1 哪些數除以7，能使商與餘數相同？
哪些數除以7，能使商與餘數相同？
分析 一個數被7除，餘數應小於7，所以餘數只能是0-6這七種可能。
一個數被7除，餘數應小於7，所以餘數只能是0-6這七種可能。
解 根據有餘數的除法關係式可求得 0×7＋0＝0； 1×7＋1＝8； 2×7＋2＝16； 3×7＋3＝24； 4×7＋4＝32； 5×7＋5＝40； 6×7＋6＝48。
根據有餘數的除法關係式可求得
0×7＋0＝0； 1×7＋1＝8；
2×7＋2＝16； 3×7＋3＝24；
4×7＋4＝32； 5×7＋5＝40；
6×7＋6＝48。
說明 觀察上述七個解不難發現：每個數都是8的倍數，這是甚麼原因呢?我們來分析關係式：被除數＝商×7＋餘數，因為餘數與商相同，因此可看作被除數是商的7倍加商的1倍，即商的8倍，所以，要求的數也可以這樣解： 0×（7＋1）＝0； 1×（7＋1）＝8； 2×（7＋1）＝16； 3×（7＋1）＝24； 4×（7＋1）＝32； 5×（7＋1）＝40； 6×（7＋1）＝48。
觀察上述七個解不難發現：每個數都是8的倍數，這是甚麼原因呢?我們來分析關係式：被除數＝商×7＋餘數，因為餘數與商相同，因此可看作被除數是商的7倍加商的1倍，即商的8倍，所以，要求的數也可以這樣解：
0×（7＋1）＝0； 1×（7＋1）＝8；
2×（7＋1）＝16； 3×（7＋1）＝24；
4×（7＋1）＝32； 5×（7＋1）＝40；
6×（7＋1）＝48。
例2 兩個整數相除商是12，餘數是8，並且被除數與除數的差是822，求這兩個整數。
兩個整數相除商是12，餘數是8，並且被除數與除數的差是822，求這兩個整數。
分析 按照題意如下作圖： 從圖可看出：被除數與除數的差比除數的11倍多8，所以根據差倍問題解法可先求得除數，再求得被除數。
按照題意如下作圖：
從圖可看出：被除數與除數的差比除數的11倍多8，所以根據差倍問題解法可先求得除數，再求得被除數。
解 除數為 （822－8）÷（12－1）＝74。 被除數為 822＋74＝896。
除數為
（822－8）÷（12－1）＝74。
被除數為
822＋74＝896。
答 被除數是896，除數是74。
被除數是896，除數是74。
例3 下面算式中的兩個方框內應填甚麼數，才能使這道整數除法題的餘數最大? □÷25＝104……□。
下面算式中的兩個方框內應填甚麼數，才能使這道整數除法題的餘數最大?
□÷25＝104……□。
解 除數是25，則餘數最大可取24。由於 被除數＝除數×商＋餘數， 則 被除數＝25×104＋24＝2,624， 故原式為 。
除數是25，則餘數最大可取24。由於
被除數＝除數×商＋餘數，
則 被除數＝25×104＋24＝2,624，
故原式為 。
例4 四位數能被2、3、5整除，問這樣的四位數是多少?
四位數能被2、3、5整除，問這樣的四位數是多少?
分析 能同時被2、3、5整除，所以滿足以下三個條件： 個位數字ｂ在0、2、4、6、8之中；各位數字之和是3的倍數；個位數字ｂ在0、5之中。 第一個條件和第三個條件是針對個位數字的，所以可先根據它們確定個位數字ｂ，再根據第二個條件確定百位數字ａ。
能同時被2、3、5整除，所以滿足以下三個條件：
個位數字ｂ在0、2、4、6、8之中；各位數字之和是3的倍數；個位數字ｂ在0、5之中。
第一個條件和第三個條件是針對個位數字的，所以可先根據它們確定個位數字ｂ，再根據第二個條件確定百位數字ａ。
解 要使能同時被2、5整除，必有ｂ＝0。而要使能被3整除，ａ必須滿足各位數字的和9＋ａ能被3整除。這樣ａ可取0， 3， 6， 9，故所求的四位數只能為7,020，7,320，7,620，7,920。
要使能同時被2、5整除，必有ｂ＝0。而要使能被3整除，ａ必須滿足各位數字的和9＋ａ能被3整除。這樣ａ可取0， 3， 6， 9，故所求的四位數只能為7,020，7,320，7,620，7,920。
例5 有一個電話號碼是六位數字，其中前面的三個數字是相同的，後面的三個數字是依次遞減的連續的三個數，六個數字的總和恰好是這個電話號碼最後的二位數。請寫出這個電話號碼。
有一個電話號碼是六位數字，其中前面的三個數字是相同的，後面的三個數字是依次遞減的連續的三個數，六個數字的總和恰好是這個電話號碼最後的二位數。請寫出這個電話號碼。
分析 由於電話號碼的前面三個數字是相同的，因此前面三個數字之和是3的倍數；後面的三個數字是依次遞減的連續的三個數字，這三個數字之和也應是3的倍數，所以這六個數字的總和一定是3的倍數。由於電話號碼的後三位數是連續遞減的，最後的二位數是3的倍數，因此這二位數只可能是：21， 54或87。但是電話號碼的六個數字的總和肯定小於6×9＝54，所以只能是21。這樣我們就推算得了電話號碼的後三位數是321。前面相同的三個數中的每一個都應是（21－3－2－1）÷3＝5，所以這個電話號碼是：555321。
由於電話號碼的前面三個數字是相同的，因此前面三個數字之和是3的倍數；後面的三個數字是依次遞減的連續的三個數字，這三個數字之和也應是3的倍數，所以這六個數字的總和一定是3的倍數。由於電話號碼的後三位數是連續遞減的，最後的二位數是3的倍數，因此這二位數只可能是：21， 54或87。但是電話號碼的六個數字的總和肯定小於6×9＝54，所以只能是21。這樣我們就推算得了電話號碼的後三位數是321。前面相同的三個數中的每一個都應是（21－3－2－1）÷3＝5，所以這個電話號碼是：555321。
解 這個電話號碼是：555321。
這個電話號碼是：555321。
說明 這裏我們順便介紹一個有用的知識，任何整數被3除時，不外三種情況：餘數為1、餘數為2和被3整除。如果有一個整數被3除時餘數為1，另一個整數被3除時餘數為2，那麼這兩個整數之和一定能被3整除；如果有三個數被3除時餘數是相等的，這三個數之和也一定能被3整除。
這裏我們順便介紹一個有用的知識，任何整數被3除時，不外三種情況：餘數為1、餘數為2和被3整除。如果有一個整數被3除時餘數為1，另一個整數被3除時餘數為2，那麼這兩個整數之和一定能被3整除；如果有三個數被3除時餘數是相等的，這三個數之和也一定能被3整除。
例6 首位數字是9，各位上的數字互不相同，並且能同時被2、3整除的七位數中，最小的是幾？
首位數字是9，各位上的數字互不相同，並且能同時被2、3整除的七位數中，最小的是幾？
分析 設所求的七位數是，要使求出的數最小，而且各位數字互不相同，可先取ａ＝0，ｂ＝1，ｃ＝2，ｄ＝3，ｅ＝4，再根據「能同時被2、3整除」來確定個位數字ｆ。
設所求的七位數是，要使求出的數最小，而且各位數字互不相同，可先取ａ＝0，ｂ＝1，ｃ＝2，ｄ＝3，ｅ＝4，再根據「能同時被2、3整除」來確定個位數字ｆ。
解 設滿足題設條件的七位數為，則和9＋ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＋ｅ＋ｆ能被3整除，要其最小，顯然應取ａ＝0， ｂ＝1， ｃ＝2， ｄ＝3， ｅ＝4。這樣，由9＋0＋1＋2＋3＋4＋ｆ＝19＋ｆ能被3整除，以及數字各不相同，可知ｆ只能取5或8，又由能被2整除條件知，ｆ＝8。故所求的七位數是9012348。
設滿足題設條件的七位數為，則和9＋ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＋ｅ＋ｆ能被3整除，要其最小，顯然應取ａ＝0， ｂ＝1， ｃ＝2， ｄ＝3， ｅ＝4。這樣，由9＋0＋1＋2＋3＋4＋ｆ＝19＋ｆ能被3整除，以及數字各不相同，可知ｆ只能取5或8，又由能被2整除條件知，ｆ＝8。故所求的七位數是9012348。
內容取材自上海華東師範大學出版社《奧數教程》，現代教育研究社及華東師範大學出版社聯合出版。版權所有，不得翻印。
