請先思考一下以下例題，然後按例題來顯示有關解說。
例1 列表畫圖法 現有紅、黃、藍、白、紫五種顏色的珠子各一顆，用紙包著，在桌子上排成一行，由甲、乙、丙、丁、戊五人，猜各包內珠子的顏色，每人只許猜兩包。 甲猜：第二包是紫的，第三包是黃的； 乙猜：第二色是藍的，第四包是紅的； 丙猜：第一包是紅的，第五包是白的； 丁猜：第三包是藍的，第四包是白的； 戊猜：第二包是黃的，第五包是紫的。 事後，打開紙包，發現每人都只猜對了一包，並且每包都只有一人猜對。問他們各猜對的是哪一種顏色的珠子。
列表畫圖法
現有紅、黃、藍、白、紫五種顏色的珠子各一顆，用紙包著，在桌子上排成一行，由甲、乙、丙、丁、戊五人，猜各包內珠子的顏色，每人只許猜兩包。
甲猜：第二包是紫的，第三包是黃的；
乙猜：第二色是藍的，第四包是紅的；
丙猜：第一包是紅的，第五包是白的；
丁猜：第三包是藍的，第四包是白的；
戊猜：第二包是黃的，第五包是紫的。
事後，打開紙包，發現每人都只猜對了一包，並且每包都只有一人猜對。問他們各猜對的是哪一種顏色的珠子。
解 根據題意把各人猜測情況列表。 因為每包都只有一人猜對，第一包只有丙猜，所以丙猜第一包是紅的猜對了。又因為每人只猜對一包，因此丙第五包猜錯了；而第五包由丙、戊兩人猜，戊猜對了第五包是紫的。 由於第一包是紅的，第四包只能是白的，因此，丁猜對了第四包，甲猜對了第三包。 甲、戊都猜錯了第二包，只有乙猜對了第二包是藍的。綜上所述，甲猜對了第三包是黃的，乙猜對了第二包是藍的，丙猜對了第一包是紅的，丁猜對了第四包是白的，戊猜對了第五包是紫的。
根據題意把各人猜測情況列表。
因為每包都只有一人猜對，第一包只有丙猜，所以丙猜第一包是紅的猜對了。又因為每人只猜對一包，因此丙第五包猜錯了；而第五包由丙、戊兩人猜，戊猜對了第五包是紫的。
由於第一包是紅的，第四包只能是白的，因此，丁猜對了第四包，甲猜對了第三包。
甲、戊都猜錯了第二包，只有乙猜對了第二包是藍的。綜上所述，甲猜對了第三包是黃的，乙猜對了第二包是藍的，丙猜對了第一包是紅的，丁猜對了第四包是白的，戊猜對了第五包是紫的。
說明 用「列表方法」把複雜問題加以條理化是解決「邏輯問題」的有效手段。
用「列表方法」把複雜問題加以條理化是解決「邏輯問題」的有效手段。
例2 某賓館二樓住著六位旅客。姓張、王、李的三位是會議代表，一個是科學家，一個是技術員，一個是記者，另外三位是出差的旅客，分別來自北京、上海、廣州，他們的姓也是張、王、李。服務員介紹的情況是： （1）姓李的旅客從北京來； （2）技術員在廣州的一家工廠工作； （3）姓王的旅客說話結結巴巴； （4）與技術員同姓的旅客來自上海； （5）技術員與職業是教師的那位旅客從同一地方來； （6）姓張的代表打羽毛球時，總是輸給記者。 請判斷他們六人各姓甚麼。
某賓館二樓住著六位旅客。姓張、王、李的三位是會議代表，一個是科學家，一個是技術員，一個是記者，另外三位是出差的旅客，分別來自北京、上海、廣州，他們的姓也是張、王、李。服務員介紹的情況是：
（1）姓李的旅客從北京來；
（2）技術員在廣州的一家工廠工作；
（3）姓王的旅客說話結結巴巴；
（4）與技術員同姓的旅客來自上海；
（5）技術員與職業是教師的那位旅客從同一地方來；
（6）姓張的代表打羽毛球時，總是輸給記者。
請判斷他們六人各姓甚麼。
解 根據代表的職業與旅客的工作地點列出下面的兩個表。在肯定的一格打Tick，在否定的一格打╳。 從（6）知，姓張的代表不是記者，在張的記者格上打╳；從（1）知，姓李的旅客來自北京，在李的北京格上打Tick，同時在該格的縱橫各格內打╳。 從（5）、（2）、（3）知職業是教師的旅客來自廣州，且不會是口吃的老王，說明他姓張，在張的廣州格上打Tick，同時在該格的縱橫格內打╳，從而在王的上海格上打Tick。 由（4）知，技術員也應姓王，在王的技術員格上打Tick，同時在該格的縱橫各格內打╳。 這樣，張的科學家格上只能打Tick，李的記者格上只能打Tick。 從表中看出，三位代表中，科學家姓張，技術員姓王，記者姓李；三位旅客中，北京來的姓李，上海來的姓王，廣州來的姓張。
根據代表的職業與旅客的工作地點列出下面的兩個表。在肯定的一格打Tick，在否定的一格打╳。
從（6）知，姓張的代表不是記者，在張的記者格上打╳；從（1）知，姓李的旅客來自北京，在李的北京格上打Tick，同時在該格的縱橫各格內打╳。
從（5）、（2）、（3）知職業是教師的旅客來自廣州，且不會是口吃的老王，說明他姓張，在張的廣州格上打Tick，同時在該格的縱橫格內打╳，從而在王的上海格上打Tick。
由（4）知，技術員也應姓王，在王的技術員格上打Tick，同時在該格的縱橫各格內打╳。
這樣，張的科學家格上只能打Tick，李的記者格上只能打Tick。
從表中看出，三位代表中，科學家姓張，技術員姓王，記者姓李；三位旅客中，北京來的姓李，上海來的姓王，廣州來的姓張。
例3 A、B、C、D、E五個球隊進行單循環賽（每兩個隊之間都要比賽一場），進行到中途，發現A、B、C、D比賽過的場次分別是4、3、2、1。 問這時E隊賽過幾場？E隊和哪個隊賽過？
A、B、C、D、E五個球隊進行單循環賽（每兩個隊之間都要比賽一場），進行到中途，發現A、B、C、D比賽過的場次分別是4、3、2、1。 問這時E隊賽過幾場？E隊和哪個隊賽過？
解 各隊之間是否比賽過。用平面上的點表示A、B、C、D、E隊，兩隊比賽過，用兩點連線表示；沒有比賽過，則不連線。據此畫出圖，其理由如下： A賽過4場，A與B、C、D、E均連線；B賽過三場，除與A賽過，還賽過2場，因為D只賽過1場（和A隊賽），因此B只能和C、E賽過；這樣正好符合C賽過2場，D賽過1場。 由圖看出這時E隊賽過2場，E隊和A、B兩隊賽過。
各隊之間是否比賽過。用平面上的點表示A、B、C、D、E隊，兩隊比賽過，用兩點連線表示；沒有比賽過，則不連線。據此畫出圖，其理由如下：
A賽過4場，A與B、C、D、E均連線；B賽過三場，除與A賽過，還賽過2場，因為D只賽過1場（和A隊賽），因此B只能和C、E賽過；這樣正好符合C賽過2場，D賽過1場。
由圖看出這時E隊賽過2場，E隊和A、B兩隊賽過。
說明 用圖表示所研究對象及其關係，是討論邏輯問題的另一個重要手段。用點表示所研究的對象，用連線表示對象之間的某種關係。充分利用圖形的直觀性，便於說明問題。
用圖表示所研究對象及其關係，是討論邏輯問題的另一個重要手段。用點表示所研究的對象，用連線表示對象之間的某種關係。充分利用圖形的直觀性，便於說明問題。
例4 假設推理法 有四人打橋牌（牌中不含大、小王，每人共13張牌），已知某一人手中的牌如下： （1）紅桃、黑桃、方塊、梅花四種花色的牌都有； （2）各種花色的牌，張數不同； （3）紅桃和黑桃合起來共6張； （4）紅桃和方塊合起來有5張； （5）有兩張主牌(將牌)。 試問這手牌以甚麼花色為主牌？
假設推理法
有四人打橋牌（牌中不含大、小王，每人共13張牌），已知某一人手中的牌如下：
（1）紅桃、黑桃、方塊、梅花四種花色的牌都有；
（2）各種花色的牌，張數不同；
（3）紅桃和黑桃合起來共6張；
（4）紅桃和方塊合起來有5張；
（5）有兩張主牌(將牌)。
試問這手牌以甚麼花色為主牌？
解 由於主牌不外乎四種花色之一，因此可以採用假設法。 先假設紅桃為主牌。依題意，紅桃為兩張，則黑桃為4張，方塊為3張。一共有13張牌，梅花只能為4張，與黑桃張數相同，矛盾。 其次假設方塊為主牌。依題意，方塊為兩張，則紅桃為3張，黑桃也為3張，矛盾。 再假設梅花為主牌。因為主牌為兩張，所以黑桃、紅桃，方塊應總共為11張。但根據條件（3）、（4）知，這三種花色的總和應少於11張，又出現矛盾。 所以只能是黑桃為主牌，此時紅桃4張，方塊1張，梅花6張。
由於主牌不外乎四種花色之一，因此可以採用假設法。
先假設紅桃為主牌。依題意，紅桃為兩張，則黑桃為4張，方塊為3張。一共有13張牌，梅花只能為4張，與黑桃張數相同，矛盾。
其次假設方塊為主牌。依題意，方塊為兩張，則紅桃為3張，黑桃也為3張，矛盾。
再假設梅花為主牌。因為主牌為兩張，所以黑桃、紅桃，方塊應總共為11張。但根據條件（3）、（4）知，這三種花色的總和應少於11張，又出現矛盾。
所以只能是黑桃為主牌，此時紅桃4張，方塊1張，梅花6張。
說明 推理的方法很多，如果題目中所設及的情況只有有限種，我們可以先假設一個前提正確，以此為起點，如果推理導致矛盾，說明假設的前提不正確，再重新提出一個假設，直至得到符合要求的結論為止。這種方法叫做「假設推理法」或「假設淘汰法」。這就是例4所用的方法。
推理的方法很多，如果題目中所設及的情況只有有限種，我們可以先假設一個前提正確，以此為起點，如果推理導致矛盾，說明假設的前提不正確，再重新提出一個假設，直至得到符合要求的結論為止。這種方法叫做「假設推理法」或「假設淘汰法」。這就是例4所用的方法。
例5 在一所公寓裏有一人被殺害了，在現場共有甲、乙、丙三人。已知這三人中，一個是主犯，一個是從犯，一個與案件無關，警察從現場的人的口中得到下列證詞： （1）甲不是主犯； （2）乙不是從犯； （3）丙不是與案犯無關的人。 這三條證詞中，提到的名字都不是說話者本人，三條證詞不一定分別出自三人之口，但至少有一條是與案件無關的人講的。經過調查證實，只有與案件無關的人說了真話，問主犯是誰？
在一所公寓裏有一人被殺害了，在現場共有甲、乙、丙三人。已知這三人中，一個是主犯，一個是從犯，一個與案件無關，警察從現場的人的口中得到下列證詞：
（1）甲不是主犯；
（2）乙不是從犯；
（3）丙不是與案犯無關的人。
這三條證詞中，提到的名字都不是說話者本人，三條證詞不一定分別出自三人之口，但至少有一條是與案件無關的人講的。經過調查證實，只有與案件無關的人說了真話，問主犯是誰？
解 由於「證詞中提到的名字都不是說話者本人」，因此這三條證詞至少出自兩人之口。又由「只有與案件無關的人說了實話」，所以這三條證詞中至少有一條是與案件無關的人講的真話。 下面我們先對「只有一條是與案件無關的人講的真話」進行假設。 假設（1）是真，（2）、（3）是假話，則甲與丙都是與案件無關的人，或者甲與乙都是從犯，這與已知矛盾。 假設（2）是真話，（1）、（3）是假話，同上面情況類似，仍與已知矛盾。 假設（3）是真話，（1）、（2）是假話，則三人全是罪犯，也與已知矛盾。 這說明三條證詞中應有兩條是與案件無關的人講的真話。 假設（1）是假話，（2）、（3）是真話，則（2）、（3）應出自與案件無關的人甲之口，但（1）是假話，又推出甲是主犯，矛盾。 假設（2）是假話，（1）、（3）是真話，其結果與前一假設類似，仍然矛盾。 所以只有（3）是假話，（1）、（2）是真話。此時可知：丙是與案件無關的人，甲是從犯，乙是主犯。
由於「證詞中提到的名字都不是說話者本人」，因此這三條證詞至少出自兩人之口。又由「只有與案件無關的人說了實話」，所以這三條證詞中至少有一條是與案件無關的人講的真話。
下面我們先對「只有一條是與案件無關的人講的真話」進行假設。
假設（1）是真，（2）、（3）是假話，則甲與丙都是與案件無關的人，或者甲與乙都是從犯，這與已知矛盾。
假設（2）是真話，（1）、（3）是假話，同上面情況類似，仍與已知矛盾。
假設（3）是真話，（1）、（2）是假話，則三人全是罪犯，也與已知矛盾。
這說明三條證詞中應有兩條是與案件無關的人講的真話。
假設（1）是假話，（2）、（3）是真話，則（2）、（3）應出自與案件無關的人甲之口，但（1）是假話，又推出甲是主犯，矛盾。
假設（2）是假話，（1）、（3）是真話，其結果與前一假設類似，仍然矛盾。
所以只有（3）是假話，（1）、（2）是真話。此時可知：丙是與案件無關的人，甲是從犯，乙是主犯。
說明 「假設推理法」特別對解決「真假話」問題尤為有效。當然用假設推理法解決問題，不僅限於上面的幾種情況，請看下面的例題。
「假設推理法」特別對解決「真假話」問題尤為有效。當然用假設推理法解決問題，不僅限於上面的幾種情況，請看下面的例題。
例6 有一位老師，想辨別一下他的三個得意門生中哪一個更聰明。他採用了以下的辦法：事先準備好5頂帽子，其中3頂是白色的，2頂是黑色的。試驗時，他先把這些帽子讓學生看了看，然後要他們閉上眼睛，他替每個學生戴上1頂白帽子，並把剩下的2頂黑帽子藏了起來，最後讓他們睜開眼睛，請他們判斷自己頭上戴的到底是甚麼顏色的帽子。三個學生相互看了看，躊躇了一會兒，忽然他們異口同聲地說，自己頭上戴的是白色帽子。你能夠說出他們猜對的道理嗎？
有一位老師，想辨別一下他的三個得意門生中哪一個更聰明。他採用了以下的辦法：事先準備好5頂帽子，其中3頂是白色的，2頂是黑色的。試驗時，他先把這些帽子讓學生看了看，然後要他們閉上眼睛，他替每個學生戴上1頂白帽子，並把剩下的2頂黑帽子藏了起來，最後讓他們睜開眼睛，請他們判斷自己頭上戴的到底是甚麼顏色的帽子。三個學生相互看了看，躊躇了一會兒，忽然他們異口同聲地說，自己頭上戴的是白色帽子。你能夠說出他們猜對的道理嗎？
解 要想解決這個問題可以先退一步考慮，即先不考慮三個人，而只考慮兩個人和1頂黑帽子、2頂白帽子(實際上白帽子的數目只要不小於2即可)的問題，這個問題誰都會解。因為黑帽子只有1頂，如果我頭上戴的是黑帽子，對方馬上就能判斷出他自己戴的是白帽子。現在對方既然躊躇，說明我戴的不是黑帽子，而是白帽子。 在「兩個人，1頂黑帽子，2頂白帽子」的基礎上，解決較為複雜的「三個人，2頂黑帽子，3頂白帽子」的問題就容易了。因為如果我戴的是黑帽子，那麼對他們兩人來說，就變成「兩個人，1頂黑帽子」的問題，這是他們倆人應當立刻解決的問題。但是現在他們躊躇了，就說明我頭上戴的不是黑帽子，而是白帽子。因為這三個人都很聰明，所以根據每個人都躊躇一會兒的現象，三個人就都判斷出自己頭上戴的是白帽子。 如果將問題的條件改為「四個人，3頂黑帽子，4頂白帽子」，也可以用上述方法解決，即：如果我戴的是黑帽子，那麼對於他們三個人來說，就是「三個人，2頂黑帽子，3頂白帽子」的問題，這個問題他們也會立刻解決，現在他們都躊躇，正好說明我戴的不是黑帽子，而是白帽子。
要想解決這個問題可以先退一步考慮，即先不考慮三個人，而只考慮兩個人和1頂黑帽子、2頂白帽子(實際上白帽子的數目只要不小於2即可)的問題，這個問題誰都會解。因為黑帽子只有1頂，如果我頭上戴的是黑帽子，對方馬上就能判斷出他自己戴的是白帽子。現在對方既然躊躇，說明我戴的不是黑帽子，而是白帽子。
在「兩個人，1頂黑帽子，2頂白帽子」的基礎上，解決較為複雜的「三個人，2頂黑帽子，3頂白帽子」的問題就容易了。因為如果我戴的是黑帽子，那麼對他們兩人來說，就變成「兩個人，1頂黑帽子」的問題，這是他們倆人應當立刻解決的問題。但是現在他們躊躇了，就說明我頭上戴的不是黑帽子，而是白帽子。因為這三個人都很聰明，所以根據每個人都躊躇一會兒的現象，三個人就都判斷出自己頭上戴的是白帽子。
如果將問題的條件改為「四個人，3頂黑帽子，4頂白帽子」，也可以用上述方法解決，即：如果我戴的是黑帽子，那麼對於他們三個人來說，就是「三個人，2頂黑帽子，3頂白帽子」的問題，這個問題他們也會立刻解決，現在他們都躊躇，正好說明我戴的不是黑帽子，而是白帽子。
記住 根據上述思想，自然還可以把問題推廣到更為一般的情況，即：「ｎ＋1個人，ｎ頂黑帽子，ｎ＋1頂白帽子。」這個問題怎樣解決就留給同學們了。
根據上述思想，自然還可以把問題推廣到更為一般的情況，即：「ｎ＋1個人，ｎ頂黑帽子，ｎ＋1頂白帽子。」這個問題怎樣解決就留給同學們了。
例7 (三)枚舉篩選法 桌上放了8張撲克牌，都背向上，牌放置的位置如圖所示。現已知： （1）每張都是A、K、Q、J中的某一張； （2）這8張牌中至少有一張Q； （3）其中只有一張A； （4）所有的Q都夾在兩張K之間； （5）至少有一張K夾在兩張J之間； （6）至少有兩張K相鄰； （7）J與Q互不相鄰，A與K也互不相鄰。 你知道這8張牌各是甚麼牌嗎？
(三)枚舉篩選法
桌上放了8張撲克牌，都背向上，牌放置的位置如圖所示。現已知：
（1）每張都是A、K、Q、J中的某一張；
（2）這8張牌中至少有一張Q；
（3）其中只有一張A；
（4）所有的Q都夾在兩張K之間；
（5）至少有一張K夾在兩張J之間；
（6）至少有兩張K相鄰；
（7）J與Q互不相鄰，A與K也互不相鄰。
你知道這8張牌各是甚麼牌嗎？
解 為了便於說明8張牌的位置，我們將其編號，如圖。根據條件（2）、（4），Q的位置有4種可能：（1）3和6同時為Q；（2）3為Q；（3）6為Q；（4）4為Q。下面分別對這4種情況進行討論： （1）3和6同時為Q。則2、4、5、7或2、4、8為K，但這兩種情況都不能滿足條件（5），排除。 （2）3為Q。則2、4為K，由條件（7），A只能在5、7、8的位置上，且6不能為K，又由條件（6），則1必須是K，同樣不能滿足條件（5），排除。 （3）6為Q，則4、8或5、7為K，若4、8為K，不能滿足條件（5），若5、7為K，由條件（6），3必須為K，則2、4應為J(條件（5）)，但這與條件（7）不符，排除。 （4）只能4為Q。此時1、6為K，5、7為J，8為K。現只剩下2、3兩個位置，根據要求可知，3為A，2為J。
為了便於說明8張牌的位置，我們將其編號，如圖。根據條件（2）、（4），Q的位置有4種可能：（1）3和6同時為Q；（2）3為Q；（3）6為Q；（4）4為Q。下面分別對這4種情況進行討論：
（1）3和6同時為Q。則2、4、5、7或2、4、8為K，但這兩種情況都不能滿足條件（5），排除。
（2）3為Q。則2、4為K，由條件（7），A只能在5、7、8的位置上，且6不能為K，又由條件（6），則1必須是K，同樣不能滿足條件（5），排除。
（3）6為Q，則4、8或5、7為K，若4、8為K，不能滿足條件（5），若5、7為K，由條件（6），3必須為K，則2、4應為J(條件（5）)，但這與條件（7）不符，排除。
（4）只能4為Q。此時1、6為K，5、7為J，8為K。現只剩下2、3兩個位置，根據要求可知，3為A，2為J。
說明 這裏為了解決問題的方便，把問題分為不重複、不遺漏的有限種情況。然後對各種情況一一枚舉，逐個檢驗，淘汰非解，最終達到解決整個問題的目的。這就是數學中經常用到的「枚舉篩選法」。下面的例題又是「枚舉篩選法」的一個應用題。
這裏為了解決問題的方便，把問題分為不重複、不遺漏的有限種情況。然後對各種情況一一枚舉，逐個檢驗，淘汰非解，最終達到解決整個問題的目的。這就是數學中經常用到的「枚舉篩選法」。下面的例題又是「枚舉篩選法」的一個應用題。
例8 某個家庭現有四個家庭成員。他們的年齡各不相同，他們的年齡總和是129歲，而其中有三個人的年齡是平方數。若倒退15年，這四人仍有三人的年齡是平方數。你知道他們各自的年齡嗎？
某個家庭現有四個家庭成員。他們的年齡各不相同，他們的年齡總和是129歲，而其中有三個人的年齡是平方數。若倒退15年，這四人仍有三人的年齡是平方數。你知道他們各自的年齡嗎？
解 根據條件可知四人的年齡都應在15歲到129歲之間，並且有三人的年齡是15至129之間的平方數，所以應對15至129之間的平方數進行枚舉與篩選。 設四個人的年齡分別為、 、 和ｄ（ａ、 ｂ、 ｃ、 ｄ都是自然數），有 ， 且 ，，，。 因此，對於、 、 來說，可能出現的數字是：16，25，36，49，64， 81，100，121。 因為15年前仍有3人的年齡是平方數，所以在、、中至少有2個減去15後仍然是平方數。在上述8個平方數中不難發現，只有16－15＝1，64－15＝49符合條件，故，。 此時，，將49分解成兩個都大於等於15，且其中之一為平方數的自然數，只有，ｄ＝24。 這樣，ｄ在15年前是9歲，恰好是平方數。 由此得到四人的年齡分別為：16歲、24歲、25歲和64歲。
根據條件可知四人的年齡都應在15歲到129歲之間，並且有三人的年齡是15至129之間的平方數，所以應對15至129之間的平方數進行枚舉與篩選。
設四個人的年齡分別為、 、 和ｄ（ａ、 ｂ、 ｃ、 ｄ都是自然數），有
，
且 ，，，。
因此，對於、 、 來說，可能出現的數字是：16，25，36，49，64， 81，100，121。
因為15年前仍有3人的年齡是平方數，所以在、、中至少有2個減去15後仍然是平方數。在上述8個平方數中不難發現，只有16－15＝1，64－15＝49符合條件，故，。
此時，，將49分解成兩個都大於等於15，且其中之一為平方數的自然數，只有，ｄ＝24。 這樣，ｄ在15年前是9歲，恰好是平方數。
由此得到四人的年齡分別為：16歲、24歲、25歲和64歲。
內容取材自上海華東師範大學出版社《奧數教程》，現代教育研究社及華東師範大學出版社聯合出版。版權所有，不得翻印。
