請先思考一下以下例題，然後按例題來顯示有關解說。
例1 平面上有16個點，連接每相鄰4個點構成相等的正方形陣（如圖（1）），如果以其中任意三點為頂點構成三角形，那麼這些三角形中的銳角三角形有多少個？
平面上有16個點，連接每相鄰4個點構成相等的正方形陣（如圖（1）），如果以其中任意三點為頂點構成三角形，那麼這些三角形中的銳角三角形有多少個？
解 由於平面上16個點排成正方形點陣，因此可以根據正方形具有的對稱性，將16個點分為三類逐一討論可得到正確答案。 如圖（2）：以正方形四個角的點為頂點的銳角三角形有3×4＝12（個）。 如圖（3）：以正方形四條邊上非四個角的點（，，…，）為頂點的銳角三角形有4×8＝32（個）。 如圖（4）：以正方形內部的四個點為頂點的銳角三角形有5×4＝20（個）。 綜合上述各種情況，銳角三角形共有12＋32＋20＝64（個）。
由於平面上16個點排成正方形點陣，因此可以根據正方形具有的對稱性，將16個點分為三類逐一討論可得到正確答案。
如圖（2）：以正方形四個角的點為頂點的銳角三角形有3×4＝12（個）。
如圖（3）：以正方形四條邊上非四個角的點（，，…，）為頂點的銳角三角形有4×8＝32（個）。
如圖（4）：以正方形內部的四個點為頂點的銳角三角形有5×4＝20（個）。
綜合上述各種情況，銳角三角形共有12＋32＋20＝64（個）。
例2 43位同學，身上帶的錢從8分到5角，錢數各不相同，每個同學把身上帶的全部錢各自買了畫片，畫片只有兩種，3分一張和5分一張，每個同學都盡量買5分一張的畫片，問他們所買3分一張畫片的總數是多少？
43位同學，身上帶的錢從8分到5角，錢數各不相同，每個同學把身上帶的全部錢各自買了畫片，畫片只有兩種，3分一張和5分一張，每個同學都盡量買5分一張的畫片，問他們所買3分一張畫片的總數是多少？
解 根據題意，同學們身上帶的錢分別是8，9，10，…，48，49，50分，共43個連續數，為買5分一張畫片要盡量多，那麼買3分一張的就盡量少。由此可知，錢數個位上是0和5的9位同學就可把全部錢用來買5分一張畫片，其餘同學可用來買三分一張畫片的錢數目，分以下情況： 個位上數字是1和6的同學，共有8人，每人6分，合計6×8＝48（分）； 個位上數字是2和7的同學，共有8人，每人12分，合計12×8＝96（分）； 個位上數字是3和8的同學，共有9人（含8分），每人3分，合計3×9＝27（分）； 個位上數字是4和9的同學，共有9人（含9分），每人9分，合計9×9＝81（分）。 因此他們所買3分一張畫片的總張數是：（48＋96＋27＋81）÷3＝252÷3＝84（張）。
根據題意，同學們身上帶的錢分別是8，9，10，…，48，49，50分，共43個連續數，為買5分一張畫片要盡量多，那麼買3分一張的就盡量少。由此可知，錢數個位上是0和5的9位同學就可把全部錢用來買5分一張畫片，其餘同學可用來買三分一張畫片的錢數目，分以下情況：
個位上數字是1和6的同學，共有8人，每人6分，合計6×8＝48（分）；
個位上數字是2和7的同學，共有8人，每人12分，合計12×8＝96（分）；
個位上數字是3和8的同學，共有9人（含8分），每人3分，合計3×9＝27（分）；
個位上數字是4和9的同學，共有9人（含9分），每人9分，合計9×9＝81（分）。
因此他們所買3分一張畫片的總張數是：（48＋96＋27＋81）÷3＝252÷3＝84（張）。
說明 此題還可以利用周期性來求解：把43位同學買畫片的情況（盡量多買5分畫片）分析一下：錢數8，9，10，11，12，13，…，50。 按5分一張數目計算，則有1，0，2，10， 2，1，3，2，1，3，2，4，…；按3分一張數目計算，則有1，3，0，2，4，1，3，0，2，4，1，3，0，…；觀察易知買3分畫片張數的規律是5個數為一個周期，43÷5＝8餘3，所以共買了 （1＋3＋0＋2＋4）×8＋1＋3＋0＝84（張）。
此題還可以利用周期性來求解：把43位同學買畫片的情況（盡量多買5分畫片）分析一下：錢數8，9，10，11，12，13，…，50。 按5分一張數目計算，則有1，0，2，10， 2，1，3，2，1，3，2，4，…；按3分一張數目計算，則有1，3，0，2，4，1，3，0，2，4，1，3，0，…；觀察易知買3分畫片張數的規律是5個數為一個周期，43÷5＝8餘3，所以共買了
（1＋3＋0＋2＋4）×8＋1＋3＋0＝84（張）。
例3 分子小於6而分母小於60的不可約真分數有多少？
分子小於6而分母小於60的不可約真分數有多少？
解 不可約真分數就是最簡分數由於分子僅有1至5這五個值，因此只能對分子逐一考慮就可以了。 當分子是1時，分母可以從2到59，這樣共有58個最簡分數； 當分子是2時， 共有57個真分數，但必須除掉分母中是2的倍數的28個分數，因此共有57－28＝29（個）最簡分數； 同理，當分子是3時，共有38個真分數；分子為5時，有44個最簡分數； 當分子是4時，共有55個真分數，但分母是偶數的有27個，故共有55－27＝28（個）。 根據以上情況可以得出，分子小於6，分母小於60的不可約真分數共有 58＋29＋38＋44＋28＝197（個）。
不可約真分數就是最簡分數由於分子僅有1至5這五個值，因此只能對分子逐一考慮就可以了。
當分子是1時，分母可以從2到59，這樣共有58個最簡分數；
當分子是2時， 共有57個真分數，但必須除掉分母中是2的倍數的28個分數，因此共有57－28＝29（個）最簡分數；
同理，當分子是3時，共有38個真分數；分子為5時，有44個最簡分數；
當分子是4時，共有55個真分數，但分母是偶數的有27個，故共有55－27＝28（個）。
根據以上情況可以得出，分子小於6，分母小於60的不可約真分數共有
58＋29＋38＋44＋28＝197（個）。
例4 將自然數N接寫在任意一個自然數的右面（例如，將2接寫在35的右面得352），如果得到的新數都能被N整除，那麼N稱為魔術數。問：小於2,000的自然數中有多少個魔術數？
將自然數N接寫在任意一個自然數的右面（例如，將2接寫在35的右面得352），如果得到的新數都能被N整除，那麼N稱為魔術數。問：小於2,000的自然數中有多少個魔術數？
解 設P為任意一個自然數，將魔術數N（N＜2,000）接後得，下面對N為一位數，二位數，三位數，四位數分別討論。 （1）當N為一位數時，，依題意，則，由於需對任意數P成立，故，所以N＝1，2，5； （2）當N為兩位數時，，依題意，則，故，所以N＝10，20，25，50； （3）當N為三位數時，，依題意，則，故，所以N＝100，125，200，250，500； （4）當N為四位數時，同理可得N＝1,000，1,250，2,000，2,500，5,000，符合條件的有1,000，1,250。 綜上所述，魔術數的個數為14個。
設P為任意一個自然數，將魔術數N（N＜2,000）接後得，下面對N為一位數，二位數，三位數，四位數分別討論。
（1）當N為一位數時，，依題意，則，由於需對任意數P成立，故，所以N＝1，2，5；
（2）當N為兩位數時，，依題意，則，故，所以N＝10，20，25，50；
（3）當N為三位數時，，依題意，則，故，所以N＝100，125，200，250，500；
（4）當N為四位數時，同理可得N＝1,000，1,250，2,000，2,500，5,000，符合條件的有1,000，1,250。
綜上所述，魔術數的個數為14個。
說明 1）我們可以證明，ｋ位魔術數一定是的約數，反之亦然。 2）這裏將問題分成幾種情況去討論，對每一種情況都增加一個前提條件，從而降低了問題的難度，使問題容易解決。
1）我們可以證明，ｋ位魔術數一定是的約數，反之亦然。
2）這裏將問題分成幾種情況去討論，對每一種情況都增加一個前提條件，從而降低了問題的難度，使問題容易解決。
例5 已知9個連續自然數。它們都大於80，那麼其中質數至多有多少個？
已知9個連續自然數。它們都大於80，那麼其中質數至多有多少個？
解 9個連續自然數中至少有4個偶數，即至多有5個連續的奇數。因為大於80的質數必為奇數（偶數質數只有一個2），於是質數只可能在這5個連續的奇數中，所以質數個數不能超過4。 （這裏採用了逐次淘汰的方法。） 另外，在101至109這九個連續的自然數中，101，103，107，109是質數，這就是說，在9個連續自然數中，可以有四個質數。 綜上所述，在大於80的9個連續自然數中至多有4個質數。
9個連續自然數中至少有4個偶數，即至多有5個連續的奇數。因為大於80的質數必為奇數（偶數質數只有一個2），於是質數只可能在這5個連續的奇數中，所以質數個數不能超過4。 （這裏採用了逐次淘汰的方法。）
另外，在101至109這九個連續的自然數中，101，103，107，109是質數，這就是說，在9個連續自然數中，可以有四個質數。
綜上所述，在大於80的9個連續自然數中至多有4個質數。
說明 1）「在連續3個奇數中必定有一個是3的倍數，這個結論常用，留給讀者證明，本題的討論也可用「在連續5個奇數中必有一個是5的倍數」的結論。 2）本題的討論包括兩個方面：一方面說明在大於80的9個連續自然數中質數不能超過4個；另一方面又給出了在大於80的9個連續的自然數中的確存在4個質數的實例，綜合這兩個方面才能得出「在大於80的9個連續自然數中，至多有4個質數」的結論。
1）「在連續3個奇數中必定有一個是3的倍數，這個結論常用，留給讀者證明，本題的討論也可用「在連續5個奇數中必有一個是5的倍數」的結論。
2）本題的討論包括兩個方面：一方面說明在大於80的9個連續自然數中質數不能超過4個；另一方面又給出了在大於80的9個連續的自然數中的確存在4個質數的實例，綜合這兩個方面才能得出「在大於80的9個連續自然數中，至多有4個質數」的結論。
例6 問101×102×……×199×200這100個數的乘積的末尾有多少個連續的零？
問101×102×……×199×200這100個數的乘積的末尾有多少個連續的零？
解 要使乘積的末尾有一個零，必需有一組質因數2和5相乘。在101∼200這些數中，含有質因數5的數可作如下分類： （1）末尾是0的數：110，120，…… 190，200，其中150，200各含有2個因數5，其餘各含1個因數5，共含12個因數5。 （2）末尾是5的數： 只含有一個質因數5的數，計有：105，115，135，45，155，165，185，195，共8個； 含有兩個質因數5的數只有175這一個； 含有三個質因數5的數只有125這一個。 合計共有13個因數5。 綜合（1）、（2）在乘積中共含有質因數5的個數為12＋13＝25（個）。而在這一串數中含有因數2的數不止25（個），因此，乘積末尾有25個連續的零。
要使乘積的末尾有一個零，必需有一組質因數2和5相乘。在101∼200這些數中，含有質因數5的數可作如下分類：
（1）末尾是0的數：110，120，…… 190，200，其中150，200各含有2個因數5，其餘各含1個因數5，共含12個因數5。
（2）末尾是5的數：
只含有一個質因數5的數，計有：105，115，135，45，155，165，185，195，共8個；
含有兩個質因數5的數只有175這一個；
含有三個質因數5的數只有125這一個。
合計共有13個因數5。
綜合（1）、（2）在乘積中共含有質因數5的個數為12＋13＝25（個）。而在這一串數中含有因數2的數不止25（個），因此，乘積末尾有25個連續的零。
例7 商店的糖果有3公斤及5公斤兩種包裝，貨源充足，保證供應，求證：凡購買N（N是自然數，且）公斤糖果時，都不用拆包。
商店的糖果有3公斤及5公斤兩種包裝，貨源充足，保證供應，求證：凡購買N（N是自然數，且）公斤糖果時，都不用拆包。
分析 把問題數學化後就是證明，對任何自然數N≧8，一定存在非負整數ｍ、ｎ，使得N＝3ｍ＋5ｎ。
把問題數學化後就是證明，對任何自然數N≧8，一定存在非負整數ｍ、ｎ，使得N＝3ｍ＋5ｎ。
證明 對N按模3分類討論。 （1）若，這時給顧客ｋ包3公斤裝的糖即可； （2）若，因為3ｋ＋1＝3（ｋ－3）＋2×5，所以，給顧客ｋ－3包3公斤裝的糖及2包5千克的糖即可； （3）若，因為3ｋ＋2＝3（ｋ－1）＋1×5。 所以，給顧客ｋ－1包3公斤裝的糖及1包5千克的糖即可。
對N按模3分類討論。
（1）若，這時給顧客ｋ包3公斤裝的糖即可；
（2）若，因為3ｋ＋1＝3（ｋ－3）＋2×5，所以，給顧客ｋ－3包3公斤裝的糖及2包5千克的糖即可；
（3）若，因為3ｋ＋2＝3（ｋ－1）＋1×5。 所以，給顧客ｋ－1包3公斤裝的糖及1包5千克的糖即可。
內容取材自上海華東師範大學出版社《奧數教程》，現代教育研究社及華東師範大學出版社聯合出版。版權所有，不得翻印。
