請先思考一下以下例題，然後按例題來顯示有關解說。
例1 有160個機器零件，平均分派給甲乙兩車間加工，乙車間因另有緊急任務，所以在甲車間已加工3小時後，才開始加工。因此，乙車間比甲車間遲20分鐘完成任務。已知甲乙兩車間的勞動生產率的比是1：3，問甲乙兩車間每小時各能加工多少零件？
有160個機器零件，平均分派給甲乙兩車間加工，乙車間因另有緊急任務，所以在甲車間已加工3小時後，才開始加工。因此，乙車間比甲車間遲20分鐘完成任務。已知甲乙兩車間的勞動生產率的比是1：3，問甲乙兩車間每小時各能加工多少零件？
解 解法一 甲乙兩車間的勞動生產率的比是1：3。 設甲車間每小時加工ｘ個，則乙車間每小時能加工3ｘ個。甲車間加工80個零件需小時，乙車間加工80個零件需小時。 乙車間先少做3小時，後又多做20分鐘。乙車間比甲車間少做小時，得方程 。 解方程得： ｘ＝20。 乙車間每小時3ｘ＝3×20＝60（個）。 甲車間每小時加工20個，乙車間每小時加工60個。 解法二 已知甲、乙車間各加工80個零件。如已知甲乙車間分別加工的時間，便可知各車間每小時加工的零件數。 設乙車間加工80個零件需ｘ小時，則甲車間加工80個零件需小時。 工作量一定時，工作效率與工作時間成反比例，得方程 ， 解這個方程得： 。 故乙車間每小時加工（個），甲車間每小時加工20個。 解法三 由「甲乙兩車間的勞動生產率的比是1：3」和「160個機器零件平均分派給甲乙兩車間加工「這兩個條件，可根據「工作量一定時，工作效率與工作時間成反比例」設乙車間需ｘ小時，則甲車間需3ｘ小時。 又在兩車間同時工作的時間內，甲工作了（3ｘ－3）小時，乙工作了小時，得方程 。 設乙車間需ｘ小時，則甲車間需3ｘ小時。 根據題意，列方程 ， 解得： 。 所以甲車間每小時加工80÷4＝20（個），乙車間每小時加工（個）。
解法一
甲乙兩車間的勞動生產率的比是1：3。 設甲車間每小時加工ｘ個，則乙車間每小時能加工3ｘ個。甲車間加工80個零件需小時，乙車間加工80個零件需小時。
乙車間先少做3小時，後又多做20分鐘。乙車間比甲車間少做小時，得方程
。
解方程得： ｘ＝20。
乙車間每小時3ｘ＝3×20＝60（個）。
甲車間每小時加工20個，乙車間每小時加工60個。
解法二
已知甲、乙車間各加工80個零件。如已知甲乙車間分別加工的時間，便可知各車間每小時加工的零件數。
設乙車間加工80個零件需ｘ小時，則甲車間加工80個零件需小時。
工作量一定時，工作效率與工作時間成反比例，得方程
，
解這個方程得： 。
故乙車間每小時加工（個），甲車間每小時加工20個。
解法三
由「甲乙兩車間的勞動生產率的比是1：3」和「160個機器零件平均分派給甲乙兩車間加工「這兩個條件，可根據「工作量一定時，工作效率與工作時間成反比例」設乙車間需ｘ小時，則甲車間需3ｘ小時。
又在兩車間同時工作的時間內，甲工作了（3ｘ－3）小時，乙工作了小時，得方程
設乙車間需ｘ小時，則甲車間需3ｘ小時。
根據題意，列方程
解得： 。
所以甲車間每小時加工80÷4＝20（個），乙車間每小時加工（個）。
記住 比較上述三種解法，顯然第三種解法簡便。換個角度考慮問題，能夠開發智力，使我們的腦筋變得靈活。獲得解決數學問題的捷徑。
比較上述三種解法，顯然第三種解法簡便。換個角度考慮問題，能夠開發智力，使我們的腦筋變得靈活。獲得解決數學問題的捷徑。
例2 寫出12個都是合數的連續自然數。
寫出12個都是合數的連續自然數。
解 在尋找質數的過程中，我們可以看出100以內最多可以寫出7個連續的合數；90，91，92，93，94，95，96。 我們把篩選法繼續運用下去，把考查的範圍擴大一些就行了。 解法一 用篩選法可以求得在113與127之間共有12個都是合數的連續自然數，即： 114、115、116、117、118、119、120、121、122、123、124、125、126。 如果12個連續自然數中，第1個是2的倍數，第2個是3的倍數。第3個是4的倍數，…，第12個是13的倍數，那麼這12個數就都是合數。 又：ｍ＋2，ｍ＋3，…，ｍ＋13是12個連續整數，故只要ｍ是2，3，…，13的倍數，這12個連續整數就一定都是合數。 解法二 設ｍ為2，3，4，…，13這12個數的最小公倍數，ｍ＋2，ｍ＋3， ｍ＋4，…，ｍ＋13分別是2的倍數，3的倍數，…，13的倍數，因此12個數都是合數。
在尋找質數的過程中，我們可以看出100以內最多可以寫出7個連續的合數；90，91，92，93，94，95，96。 我們把篩選法繼續運用下去，把考查的範圍擴大一些就行了。
解法一 用篩選法可以求得在113與127之間共有12個都是合數的連續自然數，即：
114、115、116、117、118、119、120、121、122、123、124、125、126。
如果12個連續自然數中，第1個是2的倍數，第2個是3的倍數。第3個是4的倍數，…，第12個是13的倍數，那麼這12個數就都是合數。
又：ｍ＋2，ｍ＋3，…，ｍ＋13是12個連續整數，故只要ｍ是2，3，…，13的倍數，這12個連續整數就一定都是合數。
解法二 設ｍ為2，3，4，…，13這12個數的最小公倍數，ｍ＋2，ｍ＋3， ｍ＋4，…，ｍ＋13分別是2的倍數，3的倍數，…，13的倍數，因此12個數都是合數。
說明 我們還可以寫出 13！+2，＋13！＋3，…，13！＋13， （其中ｎ！=1×2×3×…×ｎ，）這12個連續合數來。同樣地，（ｍ＋1）！＋2，（ｍ＋1）！＋3，…，（ｍ＋1）！＋ｍ＋1則是ｍ個連續的合數。
我們還可以寫出
13！+2，＋13！＋3，…，13！＋13，
（其中ｎ！=1×2×3×…×ｎ，）這12個連續合數來。同樣地，（ｍ＋1）！＋2，（ｍ＋1）！＋3，…，（ｍ＋1）！＋ｍ＋1則是ｍ個連續的合數。
例3 設有長度為1，2，…，9的線段各一條，現在要從這9條線段中選取若干條組成一個正方形，共有多少種不同的取法？這裏規定用2條或多條線段接成一條邊時，除端點外，不許重疊。
設有長度為1，2，…，9的線段各一條，現在要從這9條線段中選取若干條組成一個正方形，共有多少種不同的取法？這裏規定用2條或多條線段接成一條邊時，除端點外，不許重疊。
解 解法一 因為 ， 所以正方形的邊長不大於11 下面按正方形的邊長分類枚舉： 邊長為11：9＋2＝8＋3＝7＋4＝6＋5，可得1種選法。 邊長為10：9＋1＝8＋2＝7＋3＝6＋4，可得1種選法。 邊長為9：9＝8＋1＝7＋2＝6＋3＝5＋4，可得5種選法。 邊長為8：8＝7＋1＝6＋2＝3＋5，可得1種選法。 邊長為7：7＝6＋1＝5＋2＝4＋3，可得1種選法。 邊長≦6時，無法選擇。 綜上所述，不同的取法共有： 1＋1＋5＋1＋1＝9（種）。 解法二由於這些線段互不等長，故至少要用7條線段才能組成一個正方形，當恰取7條線段組成正方形時，正方形的3條邊各用2條線相接，另一條邊只用一條線段，當恰用8條線段時，只能每邊各用2條線段相接（容易看出，其他情況不可能發生）。因為1＋2＋…＋9＝45，45不能被4整除。所以用9條線段不可能組成正方形，由解法一知，拼出的正方形邊長至多為11，又易知正方形的邊長不可能是1，2，3，4，5，6。 有以上分析，就容易計數了。 （1）取出7條線段，有以下7種。 7＝1＋6＝2＋5＝3＋4； 8＝1＋7＝2＋6＝3＋5； 9＝1＋8＝2＋7＝3＋6＝4＋5。 （這個式子有5種）。 （2）取8條線段，有以下2種： 1＋9＝2＋8＝3＋7＝4＋6。 2＋9＝3＋8＝4＋7＝5＋6。 綜上所述，不同的取法共有9種。
解法一 因為
所以正方形的邊長不大於11
下面按正方形的邊長分類枚舉：
邊長為11：9＋2＝8＋3＝7＋4＝6＋5，可得1種選法。
邊長為10：9＋1＝8＋2＝7＋3＝6＋4，可得1種選法。
邊長為9：9＝8＋1＝7＋2＝6＋3＝5＋4，可得5種選法。
邊長為8：8＝7＋1＝6＋2＝3＋5，可得1種選法。
邊長為7：7＝6＋1＝5＋2＝4＋3，可得1種選法。
邊長≦6時，無法選擇。
綜上所述，不同的取法共有：
1＋1＋5＋1＋1＝9（種）。
解法二由於這些線段互不等長，故至少要用7條線段才能組成一個正方形，當恰取7條線段組成正方形時，正方形的3條邊各用2條線相接，另一條邊只用一條線段，當恰用8條線段時，只能每邊各用2條線段相接（容易看出，其他情況不可能發生）。因為1＋2＋…＋9＝45，45不能被4整除。所以用9條線段不可能組成正方形，由解法一知，拼出的正方形邊長至多為11，又易知正方形的邊長不可能是1，2，3，4，5，6。 有以上分析，就容易計數了。
（1）取出7條線段，有以下7種。
7＝1＋6＝2＋5＝3＋4；
8＝1＋7＝2＋6＝3＋5；
9＝1＋8＝2＋7＝3＋6＝4＋5。
（這個式子有5種）。
（2）取8條線段，有以下2種：
1＋9＝2＋8＝3＋7＝4＋6。
2＋9＝3＋8＝4＋7＝5＋6。
綜上所述，不同的取法共有9種。
例4 已知最簡分數可以表示成： 。 試說明分子ｍ是質數1,993的倍數。
已知最簡分數可以表示成：
試說明分子ｍ是質數1,993的倍數。
解 解法一 仿照高斯求和（1＋2＋3＋…＋ｎ）的辦法，將和 （1） 的各項順序倒過來再寫一遍，即 。 （2） 式與（2）式相加得： 。 從而2ｍ．1,992！是1,993的倍數。但1,993為奇質數，所以1,993不整除2，3，…， 1,992，從而1,993｜ｍ。 解法二 作配對處理 。 將括號內的分數進行通分，其公分母為 1×1,992×2×1,991×3×1,990×…×996×997＝1992！。 故（ｑ是正整數），從而 ｍ．1,992！＝1,993的倍數。 但1,993為奇質數，所以1,993不整除2，3，…，1,992，從而1,993｜ｍ。
解法一 仿照高斯求和（1＋2＋3＋…＋ｎ）的辦法，將和
（1）
的各項順序倒過來再寫一遍，即
。 （2）
式與（2）式相加得：
從而2ｍ．1,992！是1,993的倍數。但1,993為奇質數，所以1,993不整除2，3，…， 1,992，從而1,993｜ｍ。
解法二 作配對處理
將括號內的分數進行通分，其公分母為
1×1,992×2×1,991×3×1,990×…×996×997＝1992！。
故（ｑ是正整數），從而 ｍ．1,992！＝1,993的倍數。
但1,993為奇質數，所以1,993不整除2，3，…，1,992，從而1,993｜ｍ。
例5 某校組織棋類比賽，分成圍棋、中國象棋和國際象棋三個組進行，參加圍棋比賽的共有42人，參加中國象棋比賽的共有51人，參加國際象棋比賽的共有30人，同時參加了圍棋和中國象棋比賽的共有13人，同時參加了圍棋和國際象棋比賽的7人，同時參加了中國象棋和國際象棋比賽的11人，其中三種棋賽都參加的3人，問參加棋類比賽共有多少人？
某校組織棋類比賽，分成圍棋、中國象棋和國際象棋三個組進行，參加圍棋比賽的共有42人，參加中國象棋比賽的共有51人，參加國際象棋比賽的共有30人，同時參加了圍棋和中國象棋比賽的共有13人，同時參加了圍棋和國際象棋比賽的7人，同時參加了中國象棋和國際象棋比賽的11人，其中三種棋賽都參加的3人，問參加棋類比賽共有多少人？
解 解法一 設A是參加圍棋比賽的人，B是參加中國象棋比賽的人，C是參加國際象棋比賽的人，那麼參加棋類比賽的人的集合為： A∪B∪C。由題意知： ｜A｜＝42，｜B｜＝51，｜C｜＝30， ｜A∩B｜＝13，｜A∩C｜＝7，｜B∩C｜＝11， ｜A∩B∩C｜＝3。 由容斥原理得 ｜A∪B∪C｜＝｜A｜＋｜B｜＋｜C｜－｜A∩B｜－｜A∪C｜－｜B∩C｜＋｜A∩B∩C｜ ＝42＋51＋30－13－7－11＋3 ＝95（人）。 解法二 利用文氏圖逐個填寫各區域所表示的集合元素的個數，而後求其結果。 設A、B、C分別表示參加圍棋、中國象棋和國際象棋比賽的人的集合，其文氏圖分割成七個互不相交的區域，區域Ⅶ（即A∩B∩C）表示三種棋賽都參加的人的集合，由題意應填數字3，區域Ⅳ表示僅參加圍棋和中國象棋兩項比賽的人的集合。其人數為13－3＝10（人），區域Ⅵ表示僅參加圍棋和國際象棋兩項比賽的人的集合。其人數為7－3＝4（人），因此僅參加圍棋比賽的人，故Ⅰ的人數為42－10－4－3＝25（人）。同理可把區域Ⅱ、 Ⅲ、Ⅴ所表示的集合的人數逐個算出，分別填入相應的區域內，由此得出參加棋類比賽的總人數為 25＋30＋15＋10＋8＋4＋3＝95（人）。
解法一 設A是參加圍棋比賽的人，B是參加中國象棋比賽的人，C是參加國際象棋比賽的人，那麼參加棋類比賽的人的集合為：
A∪B∪C。由題意知：
｜A｜＝42，｜B｜＝51，｜C｜＝30，
｜A∩B｜＝13，｜A∩C｜＝7，｜B∩C｜＝11，
｜A∩B∩C｜＝3。
由容斥原理得
｜A∪B∪C｜＝｜A｜＋｜B｜＋｜C｜－｜A∩B｜－｜A∪C｜－｜B∩C｜＋｜A∩B∩C｜
＝42＋51＋30－13－7－11＋3
＝95（人）。
解法二 利用文氏圖逐個填寫各區域所表示的集合元素的個數，而後求其結果。
設A、B、C分別表示參加圍棋、中國象棋和國際象棋比賽的人的集合，其文氏圖分割成七個互不相交的區域，區域Ⅶ（即A∩B∩C）表示三種棋賽都參加的人的集合，由題意應填數字3，區域Ⅳ表示僅參加圍棋和中國象棋兩項比賽的人的集合。其人數為13－3＝10（人），區域Ⅵ表示僅參加圍棋和國際象棋兩項比賽的人的集合。其人數為7－3＝4（人），因此僅參加圍棋比賽的人，故Ⅰ的人數為42－10－4－3＝25（人）。同理可把區域Ⅱ、 Ⅲ、Ⅴ所表示的集合的人數逐個算出，分別填入相應的區域內，由此得出參加棋類比賽的總人數為
25＋30＋15＋10＋8＋4＋3＝95（人）。
內容取材自上海華東師範大學出版社《奧數教程》，現代教育研究社及華東師範大學出版社聯合出版。版權所有，不得翻印。
