奧林匹克數學教材庫第三冊內容

二十、換一個角度考慮問題

四、測試題
作答時間：

試題： 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

請按開始作答測試題，
完成後按「提交試卷」來評核學習成果。

1.

甲乙兩列車分別從A、B兩站開出，相向而行，甲車先出發一刻鐘，相遇時，乙車比甲車多行6公里，已知甲、乙兩列車的速度之比為2：3，乙車從B站行到A站需1小時30分鐘，求甲、乙各列車的速度及AB兩站間的距離？

甲車的速度為40公里／時，乙車的速度為60公里／時，A、B兩站間的距離為90公里。

2.

摩托車賽滿全程共281公里，全路被劃分若干階段，每一階段中有的是由一段上坡路（3公里）、一段平路（4公里）、一段下坡路（2公里）和一段平路（4公里）組成，有的是由一段上坡路（3公里）、一段下坡路（2公里）和一段平路（4公里）組成，已知摩托車跑完全程後，共跑了25段上坡路，問全程中包含兩種階段各幾段？

全程中包含第一種路段14段，第二種路段11段。（有兩種解法）。

3.

學校閱覽室裏有36名學生在看書，其中女生佔，後來又有幾名女生來看書，這時女生人數佔所有看書人數的，問後來又有幾名女生來看書？

後來又有2名女生來看書（有兩種解法）。

4.

分數的整數部分是多少？

A的整數部分為3。

5.

平面上有7個不在同一直線上的點，以這7個點作為頂點做三角形，使得任何兩個三角形至多只有一個公共頂點，問最多可以做出多少個滿足上述條件的三角形？

最多可做出7個滿足條件的三角形。

6.

如圖。已知梯形ABCD的面積為，AE＝FB，EC與DF相交於O，△DOC的面積為，求陰影部分的面積。

梯形ABCD中的陰影部分面積為（提示：有兩種解法）。

7.

證明：如果三個整數之和是6的倍數。那麼這三個整數的立方和也是6的倍數。

設三個整數分別為ａ、ｂ、ｃ，本題要證當6｜（ａ＋ｂ＋ｃ）時，，設則必有，，，由6｜（ａ＋ｂ＋ｃ），故有。但，故有或，或。

（1）時，，，中至多有一個為零，若有一為零時不妨設，由，且，均不為零，不妨設，則應分，；，；，幾種情況討論，此時被6除的餘數即為：，，，容易看出，，均為6的倍數，故也是6的倍數。

（2）如，，均不為0且不妨設，那麼只有，﹔﹔，，三種情況，被6除的餘數分別與：，，。被6除的餘數相同，但上述三數均為6的倍數，故此時為6的倍數。

（3）時。不妨設有下面三種情況，，﹔，，﹔。被6除的餘數分別與，，，被6除的餘數相同，但上述三數均為6的倍數，故為6的倍數。

根據（1）（2）（3）各種情況分類討論知：只要有6｜（ａ＋ｂ＋ｃ），必有（）（本題還有兩種解法從略）。

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內容取材自上海華東師範大學出版社《奧數教程》，現代教育研究社及華東師範大學出版社聯合出版。版權所有，不得翻印。