請先思考一下以下例題，然後按例題來顯示有關解說。
例1 曉明與楊華分別以不同速度，在周長為500米的環形跑道上跑步。楊華的速度是180米／分。 （1）曉明與楊華同時從同一地點出發，反向跑步，75秒後兩人第一次相遇，曉明的速度是多少米／分？ （2）若曉明與楊華以上述的速度同時從同一地點出發，同一方向跑步。曉明要跑多少圈後才能第一次追上楊華？
曉明與楊華分別以不同速度，在周長為500米的環形跑道上跑步。楊華的速度是180米／分。
（1）曉明與楊華同時從同一地點出發，反向跑步，75秒後兩人第一次相遇，曉明的速度是多少米／分？
（2）若曉明與楊華以上述的速度同時從同一地點出發，同一方向跑步。曉明要跑多少圈後才能第一次追上楊華？
解 （1）75秒＝1.25分。兩人相遇，即為合起來跑了一個周長的行程。所以曉明的速度是 500÷1.25－180＝220（米／分）。 （2）在環形的跑道上，曉明要追上楊華，就是曉明要比楊華多跑一圈（一個周長），因此，需要的時間是 500÷（220－180）＝12.5（分）， 220×12.5÷500＝5.5（圈）。
（1）75秒＝1.25分。兩人相遇，即為合起來跑了一個周長的行程。所以曉明的速度是
500÷1.25－180＝220（米／分）。
（2）在環形的跑道上，曉明要追上楊華，就是曉明要比楊華多跑一圈（一個周長），因此，需要的時間是
500÷（220－180）＝12.5（分），
220×12.5÷500＝5.5（圈）。
答 （1） 曉明的速度是220米／分； （2） 曉明跑5.5圈後才能追上楊華。
（1） 曉明的速度是220米／分；
（2） 曉明跑5.5圈後才能追上楊華。
例2 如圖，A、 B是圓的直徑的兩個端點，亮亮在點A，明明在點B，他們同時出發，反向而行。他們在C點第一次相遇，C點離A點100米；在D點第二次相遇，D點離B點80米。求這個圓的周長。
如圖，A、 B是圓的直徑的兩個端點，亮亮在點A，明明在點B，他們同時出發，反向而行。他們在C點第一次相遇，C點離A點100米；在D點第二次相遇，D點離B點80米。求這個圓的周長。
分析 第一次相遇，兩人合起來走了半圈，第二次相遇，兩個人合起來又走了一圈，所以從開始出發到第二次相遇，兩個人合起來走了一圈半。也就是說，第二次相遇時兩人合起來所走的行程是第一次相遇時合起來所走的行程的3倍，也就是，從A到D（A→C→B→D）的距離應該是從A到C（A直接到C）的距離的3倍。於是有解法如下。
第一次相遇，兩人合起來走了半圈，第二次相遇，兩個人合起來又走了一圈，所以從開始出發到第二次相遇，兩個人合起來走了一圈半。也就是說，第二次相遇時兩人合起來所走的行程是第一次相遇時合起來所走的行程的3倍，也就是，從A到D（A→C→B→D）的距離應該是從A到C（A直接到C）的距離的3倍。於是有解法如下。
解 A到D（A→C→B→D）的距離： 100×3＝300（米）。 半個圓圈長： 300－80＝220（米）。 整個圓圈長： 220×2＝440（米）。
A到D（A→C→B→D）的距離：
100×3＝300（米）。
半個圓圈長：
300－80＝220（米）。
整個圓圈長：
220×2＝440（米）。
答 這個圓的周長是440米。
這個圓的周長是440米。
例3 一個圓的周長為1.44米，兩隻螞蟻從一條直徑的兩端同時出發，沿圓周相向爬行。1分鐘後它們都調頭而行，再過2分鐘，他們又調頭爬行，依次按照1、 3、 5、 7，…（連續奇數）分鐘數調頭爬行。這兩隻螞蟻每分鐘分別爬5.5厘米和3.5厘米。那麼經過多少時間它們初次相遇？再次相遇需要多少時間？
一個圓的周長為1.44米，兩隻螞蟻從一條直徑的兩端同時出發，沿圓周相向爬行。1分鐘後它們都調頭而行，再過2分鐘，他們又調頭爬行，依次按照1、 3、 5、 7，…（連續奇數）分鐘數調頭爬行。這兩隻螞蟻每分鐘分別爬5.5厘米和3.5厘米。那麼經過多少時間它們初次相遇？再次相遇需要多少時間？
分析 半圓的周長是 1.44÷2＝0.72（米）＝72（厘米）。 先不考慮往返的情況，那麼兩隻螞蟻相遇的時間為 72÷（5.5＋3.5）＝8（分）。 再考慮往返的情況，則有下表。 所以第15分鐘後，兩隻螞蟻向下半圓爬行剛好都需要8分鐘。由此可求出它們初次相遇和再次相遇的時間。
半圓的周長是
1.44÷2＝0.72（米）＝72（厘米）。
先不考慮往返的情況，那麼兩隻螞蟻相遇的時間為
72÷（5.5＋3.5）＝8（分）。
再考慮往返的情況，則有下表。
所以第15分鐘後，兩隻螞蟻向下半圓爬行剛好都需要8分鐘。由此可求出它們初次相遇和再次相遇的時間。
解 由題意可知 它們初次相遇時間＝1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15 ＝64（分）。 它們再次相遇需要時間為8×2＝16（分）。
由題意可知
它們初次相遇時間＝1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15
＝64（分）。
它們再次相遇需要時間為8×2＝16（分）。
答 它們初次相遇所用時間為64分鐘，它們再次相遇所用時間為16分鐘。
它們初次相遇所用時間為64分鐘，它們再次相遇所用時間為16分鐘。
例4 一個圓周長70厘米，甲、乙兩隻爬蟲從同一地點，同時出發同向爬行，甲以每秒4厘米的速度不停地爬行，乙爬行15厘米後，立即反向爬行，并且速度增加1倍，在離出發點30厘米處與甲相遇，問爬蟲乙原來的速度是多少？
一個圓周長70厘米，甲、乙兩隻爬蟲從同一地點，同時出發同向爬行，甲以每秒4厘米的速度不停地爬行，乙爬行15厘米後，立即反向爬行，并且速度增加1倍，在離出發點30厘米處與甲相遇，問爬蟲乙原來的速度是多少？
分析 根據題意畫出示意圖。 觀察示意圖可知：甲共行了70－30＝40（厘米），所需時間是40÷4＝10（秒）。在10秒內，乙按原速度走了15厘米，按2倍的速度走了15＋30＝45（厘米），假如全按原速走，乙10秒共走15＋45÷2＝37.5（厘米），由此可求出乙原來的速度。
根據題意畫出示意圖。
觀察示意圖可知：甲共行了70－30＝40（厘米），所需時間是40÷4＝10（秒）。在10秒內，乙按原速度走了15厘米，按2倍的速度走了15＋30＝45（厘米），假如全按原速走，乙10秒共走15＋45÷2＝37.5（厘米），由此可求出乙原來的速度。
解 （70－30）÷4 ＝40÷4 ＝10（秒）， [（30＋15）÷2＋15]÷10 ＝37.5÷10 ＝3.75（厘米／秒）。
（70－30）÷4
＝40÷4
＝10（秒），
[（30＋15）÷2＋15]÷10
＝37.5÷10
＝3.75（厘米／秒）。
答 爬蟲乙原來的速度是每秒爬3.75厘米。
爬蟲乙原來的速度是每秒爬3.75厘米。
例5 一隻小船從A地到B地往返一次共用2小時。回來時順水，比去時的速度每小時多行駛8公里，因此第二小時比第一小時多行駛6公里，求A至B兩地的距離。
一隻小船從A地到B地往返一次共用2小時。回來時順水，比去時的速度每小時多行駛8公里，因此第二小時比第一小時多行駛6公里，求A至B兩地的距離。
分析 （1）1小時是行駛全程的一半時間，因為去時逆水，小船到達不了B地。我們在B之前設置一個C點，是小船逆水行駛1小時到達的地方。如圖所示。 第二小時比第一小時多行駛的行程，恰好是C至B距離的2倍，它等於6公里，就知C至B是3公里。 （2）為了示意小船順水速度比逆水速度每小時多行駛8公里，在圖中再設置D點，D至C是8公里，也就是說C至A順水行駛時間是1小時。於是，D至B是5公里順水行駛，與C至B逆水行駛3公里時間一樣多。因此 順水速度：逆水速度＝5：3。
（1）1小時是行駛全程的一半時間，因為去時逆水，小船到達不了B地。我們在B之前設置一個C點，是小船逆水行駛1小時到達的地方。如圖所示。
第二小時比第一小時多行駛的行程，恰好是C至B距離的2倍，它等於6公里，就知C至B是3公里。
（2）為了示意小船順水速度比逆水速度每小時多行駛8公里，在圖中再設置D點，D至C是8公里，也就是說C至A順水行駛時間是1小時。於是，D至B是5公里順水行駛，與C至B逆水行駛3公里時間一樣多。因此
順水速度：逆水速度＝5：3。
解 據題意可知： 順水速度：逆水速度＝5：3。 因為兩者速度差是8公里，所以 逆水速度（公里／小時）。 從而得A到B的距離是：12＋3＝15（公里）。
據題意可知：
因為兩者速度差是8公里，所以
逆水速度（公里／小時）。
從而得A到B的距離是：12＋3＝15（公里）。
答 A至B兩地距離是15公里。
A至B兩地距離是15公里。
例6 如圖，沿著邊長為90米的正方形，按逆時針方向，甲從A出發，每分鐘走65米，乙從B出發，每分鐘走72米，當乙第一次追上甲時是在正方形的哪一條邊上？
如圖，沿著邊長為90米的正方形，按逆時針方向，甲從A出發，每分鐘走65米，乙從B出發，每分鐘走72米，當乙第一次追上甲時是在正方形的哪一條邊上？
分析 這是環形追及問題。這類問題可以先看成「直線」追及問題，求出乙追上甲所需要的時間，再回到「環形」追及問題，根據乙在這段時間內所走路程，推算出乙應在正方形哪一條邊上。
這是環形追及問題。這類問題可以先看成「直線」追及問題，求出乙追上甲所需要的時間，再回到「環形」追及問題，根據乙在這段時間內所走路程，推算出乙應在正方形哪一條邊上。
解 設追上甲時乙走了ｘ分。依題意，甲在乙前方 3×90＝270（米）， 故有 72ｘ＝65ｘ＋270， 解得 。 在這段時間內乙走了 （米）。 由於正方形邊長為90米，共四條邊，所以由 。 可以推算出這時甲和乙應在正方形的AD邊上。
設追上甲時乙走了ｘ分。依題意，甲在乙前方
3×90＝270（米），
故有
72ｘ＝65ｘ＋270，
解得 。
在這段時間內乙走了
（米）。
由於正方形邊長為90米，共四條邊，所以由
。
可以推算出這時甲和乙應在正方形的AD邊上。
答 當乙第一次追上甲時在正方形的AD邊上。
當乙第一次追上甲時在正方形的AD邊上。
例7 150人要趕到90公里外的某地去執行任務。已知步行每小時可行10公里。 現有一輛時速為70公里的卡車，可乘50人。請你設計一種乘車及步行的方案， 能使這150人在最短的時間內全部趕到目的地。其中，在中途每次換車（上、下車）時間均忽略不計。
150人要趕到90公里外的某地去執行任務。已知步行每小時可行10公里。 現有一輛時速為70公里的卡車，可乘50人。請你設計一種乘車及步行的方案， 能使這150人在最短的時間內全部趕到目的地。其中，在中途每次換車（上、下車）時間均忽略不計。
解 顯然，只有人、車不停地向目標前進，車一直不停地往返載人，最後使150人與車同時到達目的地時，所用的時間才會最短。 由於這輛車只能乘坐50人，因此將150分為3組，每組50人來安排乘車與步行。上圖中，實線表示汽車往返路線（AE→EC→CF→FD→DB），虛線表示步行路段。顯然每組乘車、步行的路程都應一樣多。所以 AE＝CF＝DB，且AC＝CD＝EF＝FB。 若設AE＝CF＝DB＝ｘ， AC＝CD＝EF＝FB＝ｙ，則ｘ＋2ｙ＝90。 且因為汽車在AE＋EC上所用的時間與步行AC所用時間相同，所以 。 解方程組 得ｘ＝60， ｙ＝15。 則150人全部從A到B所用的最短時間為 （小時）。
顯然，只有人、車不停地向目標前進，車一直不停地往返載人，最後使150人與車同時到達目的地時，所用的時間才會最短。
由於這輛車只能乘坐50人，因此將150分為3組，每組50人來安排乘車與步行。上圖中，實線表示汽車往返路線（AE→EC→CF→FD→DB），虛線表示步行路段。顯然每組乘車、步行的路程都應一樣多。所以
AE＝CF＝DB，且AC＝CD＝EF＝FB。
若設AE＝CF＝DB＝ｘ， AC＝CD＝EF＝FB＝ｙ，則ｘ＋2ｙ＝90。
且因為汽車在AE＋EC上所用的時間與步行AC所用時間相同，所以
解方程組
得ｘ＝60， ｙ＝15。 則150人全部從A到B所用的最短時間為
（小時）。
答 方案是50人一組，共分3組，先後分別乘60公里車，先後分段步行30公里，由A同時出發，最後同時到B，最短時間是小時。
方案是50人一組，共分3組，先後分別乘60公里車，先後分段步行30公里，由A同時出發，最後同時到B，最短時間是小時。
內容取材自上海華東師範大學出版社《奧數教程》，現代教育研究社及華東師範大學出版社聯合出版。版權所有，不得翻印。
