請先思考一下以下例題，然後按例題來顯示有關解說。
例1 有四個學生，他們的年齡恰好是一個比一個大1歲，而他們的年齡的乘積是5,040，那麼，他們的年齡各是多少？
有四個學生，他們的年齡恰好是一個比一個大1歲，而他們的年齡的乘積是5,040，那麼，他們的年齡各是多少？
解 我們先把5,040分解因數得： 。 再把這些質數湊成四個連續自然數的乘積： 。
我們先把5,040分解因數得：
。
再把這些質數湊成四個連續自然數的乘積：
答 這四名學生的年齡分別是7歲、8歲、9歲和10歲。
這四名學生的年齡分別是7歲、8歲、9歲和10歲。
例2 求100以內有6個約數的數有哪些？
求100以內有6個約數的數有哪些？
分析 因為一個數N的約數個數等於這個數的各個不同質因數的個數加1的連乘積，而6只能寫成（5＋1）或（1＋1）×（2＋1）。 由此可知，此數可能是或者。 當時，因為N要在100以內，所以ｐ只能取2。 由於，可見32有6個約數 當時，若取2，可取3、5、7，則相對應的N有18、50、98。 若取3，可取2、5，相對應的N有12、75。 若取5，可取2、3，則相對應的N有20、45。 若取7，可取2、3，則相對應的N有28、63。 若取11，可取2、3，則相對應的N有44、99。 若取13，可取2，則相對應的N有52。 若取17，可取2，則相對應的N有68。 若取19，可取2，則相對應的N有76。 若取23，可取2，則相對應的N有92。
因為一個數N的約數個數等於這個數的各個不同質因數的個數加1的連乘積，而6只能寫成（5＋1）或（1＋1）×（2＋1）。
由此可知，此數可能是或者。
當時，因為N要在100以內，所以ｐ只能取2。 由於，可見32有6個約數
當時，若取2，可取3、5、7，則相對應的N有18、50、98。
若取3，可取2、5，相對應的N有12、75。
若取5，可取2、3，則相對應的N有20、45。
若取7，可取2、3，則相對應的N有28、63。
若取11，可取2、3，則相對應的N有44、99。
若取13，可取2，則相對應的N有52。
若取17，可取2，則相對應的N有68。
若取19，可取2，則相對應的N有76。
若取23，可取2，則相對應的N有92。
解 因為這個數有6個約數，由於 6＝（1＋1）×（2＋1）或6＝5＋1。 故所求的數可能出現的是：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共16個。
因為這個數有6個約數，由於
6＝（1＋1）×（2＋1）或6＝5＋1。
故所求的數可能出現的是：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共16個。
答 100以內有6個約數的數有32，18，50，98，12，75，20，45，28，63，44， 99，52，68，76和92共16個。
100以內有6個約數的數有32，18，50，98，12，75，20，45，28，63，44， 99，52，68，76和92共16個。
例3 下面算式中，不同的字母代表不同的數字。求這個算式。 。
下面算式中，不同的字母代表不同的數字。求這個算式。
分析 先將1,995分解質因數得： 1,995＝3×5×7×19。 再將質因數適當搭配，使之轉化成一個三位數與一個一位數相乘的形式，且三位數的三個數字各不相同即可。
先將1,995分解質因數得：
1,995＝3×5×7×19。
再將質因數適當搭配，使之轉化成一個三位數與一個一位數相乘的形式，且三位數的三個數字各不相同即可。
解 因為1,995＝3×5×7×19 ＝3×665 ＝5×399 ＝7×285， 顯然只有1,995＝7×285符合要求。
因為1,995＝3×5×7×19
＝3×665
＝5×399
＝7×285，
顯然只有1,995＝7×285符合要求。
答 所求算式是285×7＝1,995。
所求算式是285×7＝1,995。
例4 1,512乘以自然數ａ得到一個平方數，求ａ的最小值。
1,512乘以自然數ａ得到一個平方數，求ａ的最小值。
分析 設這個平方數是1,512×ａ，將1,512×ａ分解因數後使各質因數的個數都是能被2整除的最小倍數就能求出ａ的最小值。
設這個平方數是1,512×ａ，將1,512×ａ分解因數後使各質因數的個數都是能被2整除的最小倍數就能求出ａ的最小值。
解 因為 1,512＝2×2×2×3×3×3×7， 所以可以看出，質因數2的個數是3，不能被2整除，至少應再補一個2．同理，至少還要補一個3和一個7，即 1,512×ａ＝2×2×2×2×3×3×3×7×7。
因為
1,512＝2×2×2×3×3×3×7，
所以可以看出，質因數2的個數是3，不能被2整除，至少應再補一個2．同理，至少還要補一個3和一個7，即
1,512×ａ＝2×2×2×2×3×3×3×7×7。
答 ａ＝2×3×7＝42。
ａ＝2×3×7＝42。
記住 檢驗一下結果得 1,512×ａ＝2×2×2×2×3×3×3×3×7×7 ＝（4×9×7）×（4×9×7） ＝。 任何一個平方數設其為，則分解因數一定可得，ａ與ａ分解質因數結果一定相同，即分解質因數後一定可以分成完全一樣的兩部分。利用這個方法也可以判斷一個自然數是不是一個平方數。
檢驗一下結果得
1,512×ａ＝2×2×2×2×3×3×3×3×7×7
＝（4×9×7）×（4×9×7）
＝。
任何一個平方數設其為，則分解因數一定可得，ａ與ａ分解質因數結果一定相同，即分解質因數後一定可以分成完全一樣的兩部分。利用這個方法也可以判斷一個自然數是不是一個平方數。
例5 有3個自然數ａ、ｂ、ｃ，若已知ａ×ｂ＝6， ｂ×ｃ＝15， ａ×ｃ＝10，則ａ×ｂ×ｃ＝？
有3個自然數ａ、ｂ、ｃ，若已知ａ×ｂ＝6， ｂ×ｃ＝15， ａ×ｃ＝10，則ａ×ｂ×ｃ＝？
解 因為（ａ×ｂ）×（ｂ×ｃ）×（ａ×ｃ）＝6×15×10， 即 ａ×ａ×ｂ×ｂ×ｃ×ｃ＝2×3×3×5×2×5， （ａ×ｂ×ｃ）×（ａ×ｂ×ｃ）＝（2×3×5）×（2×3×5）， 所以ａ×ｂ×ｃ＝2×3×5＝30。
因為（ａ×ｂ）×（ｂ×ｃ）×（ａ×ｃ）＝6×15×10，
即 ａ×ａ×ｂ×ｂ×ｃ×ｃ＝2×3×3×5×2×5，
（ａ×ｂ×ｃ）×（ａ×ｂ×ｃ）＝（2×3×5）×（2×3×5），
所以ａ×ｂ×ｃ＝2×3×5＝30。
例6 如果N是若干個2的乘積，那麼N的約數之和是奇數還是偶數？為甚麼？
如果N是若干個2的乘積，那麼N的約數之和是奇數還是偶數？為甚麼？
分析 不難分解出，若N為若干個2的乘積，那麼N的約數和應該為1＋2＋，而2的1、2、3、…、ｎ次方的結果都為偶數，這些偶數的和仍為偶數，再加1後其和必然為奇數，問題由此得解。
不難分解出，若N為若干個2的乘積，那麼N的約數和應該為1＋2＋，而2的1、2、3、…、ｎ次方的結果都為偶數，這些偶數的和仍為偶數，再加1後其和必然為奇數，問題由此得解。
解 設（ｎ個2的連乘積），那麼N的所有約數之和是： ）。 顯然，（）的每一個數都是偶數，若干個偶數的和也仍為偶數，偶數加上1一定是奇數，所以N的所有約數之和為奇數。
設（ｎ個2的連乘積），那麼N的所有約數之和是：
）。
顯然，（）的每一個數都是偶數，若干個偶數的和也仍為偶數，偶數加上1一定是奇數，所以N的所有約數之和為奇數。
答 如果N是若干個2的連乘積，那麼N的約數之和是奇數。
如果N是若干個2的連乘積，那麼N的約數之和是奇數。
例7 有一個自然數，它的個位是零，它共有8個約數，這個數最小的是多少？
有一個自然數，它的個位是零，它共有8個約數，這個數最小的是多少？
分析 因為8＝7＋1＝2×4，另外，此題要求它的個位是零，它必須要求含有質因數2和5，所以它不能只取一個指數7，所以這個約數的個數8只能為： 8＝2×4＝（1＋1）×（3＋1）。 又因為這個數只含有2，5兩個不同的質因數，所以可求解如下。
因為8＝7＋1＝2×4，另外，此題要求它的個位是零，它必須要求含有質因數2和5，所以它不能只取一個指數7，所以這個約數的個數8只能為：
8＝2×4＝（1＋1）×（3＋1）。
又因為這個數只含有2，5兩個不同的質因數，所以可求解如下。
解 因為8＝7＋1＝2×4＝（1＋1）×（3＋1）， （捨去），又因為這個數只含2， 5兩個不同的質因數，又要求最小，所以這個數應為。
因為8＝7＋1＝2×4＝（1＋1）×（3＋1）， （捨去），又因為這個數只含2， 5兩個不同的質因數，又要求最小，所以這個數應為。
答 個位是零又有8個約數的最小自然數為40。
個位是零又有8個約數的最小自然數為40。
記住 在這一講中，我們研究了一個數的約數個數，這些約數的和的求法，同時我們還研究了ｎ個不同質數相乘的積的約數個數為，並且知道質數的平方的約數個數只有三個，完全平方數的約數個數是奇數個，非完全平方數的約數個數是偶數個。應用這些知識，我們可以解決許多問題。
在這一講中，我們研究了一個數的約數個數，這些約數的和的求法，同時我們還研究了ｎ個不同質數相乘的積的約數個數為，並且知道質數的平方的約數個數只有三個，完全平方數的約數個數是奇數個，非完全平方數的約數個數是偶數個。應用這些知識，我們可以解決許多問題。
內容取材自上海華東師範大學出版社《奧數教程》，現代教育研究社及華東師範大學出版社聯合出版。版權所有，不得翻印。
