1. 質因數和分解質因數
（1） 如果一個質數是某個數的約數，那麼就說這個質數是這個數的質因數。
（2） 把一個合數用質因數相乘表示，叫做分解質因數。如把12分解質因數得
，這時並稱2和3是12的質因數。
（3） 算術基本定理：任何大於1的整數都能表成質數的乘積。
（4） 如果把相同的質因數合併為它的冪，則任一大於1的整數N只能唯一地表成：
（其中質數
， 
是自然數，它們分別是
的指數），則上式稱為N的標準分解式。
（5） 質數與互質的區別：質數是指約數只有1和它本身的自然數；而兩個數的共同約數只有1時，這樣兩個數的關係稱為互質。
（6） 分解質因數的方法主要是短除法。譬如分解675這個合數，試除時一般從最小質數開始。
所以，
。
2. 合數的約數個數與合數的約數和。
以前面的例子為例可知：
（1）675的約數有1、3、5、9、15、25、27、45、75、135、225、675共12個。而675的質因數分解式為
。
其中指數3是質因數3的個數，指數2是質因數5的個數，那麼675的約數的個數12，恰恰是各個質因數指數加1的和的乘積：
（3＋1）×（2＋1）＝12。
（2）675的12個約數之和
1＋3＋5＋9＋15＋25＋27＋45＋75
＋135＋225＋675＝1,240。
但由於675的質因數分解式為
，那麼675的所有約數之和與675的質因數3和5的方冪恰恰有如下關係：
＝40×31
＝1,240。
我們再舉一個例子。比如
，讀者不妨自己驗證一下：
合數18,000的所有約數的個數為
（4＋1）×（2＋1）×（3＋1）＝60（個）。
合數18,000的所有約數和為
。
當然，這不是偶然的，我們可以總結出求一個合數的所有約數的個數和所有約數和有如下結論。
定理 若自然N分解因數的結果是
其中
為互不相同的質數，
為自然數，分別是的指數，那麼
N的約數個數是
。
N的所有約數的和是
特別地，當N只有一個或若干個相同的質因數（即
，ｐ為質數，ｒ為自然數）時，N的約數有ｒ＋1個，所有約數的和為
。
3. 定理 設合數N只能分解成ｎ個不同質數的積，則N有約數
個。
簡單歸納如下：
設
為ｎ個互不相同的質數，於是：
當
時，N有約數2個：1和
；
當
時，N有約數4（即
）個：1，
和
；
當
時，N有約數8（即
）個：1，
，
，
，
，
；
當
時，N有約數
個。
4. 定理 如果一個數是某一質數的平方，那麼這個數只有3個約數。反過來，如果一個數只有3個約數，那麼這個數一定是某個質數的平方。
舉例說明如下：
9（即
）的約數有3個，分別是1，9和3；
25（即
）的約數有3個，分別是1，25和5；
49（即
）的約數有3個，分別是1，49和7，等等。
5. 定理 （1）如果一個數為一個完全平方數，那麼這個數的約數個數一定是奇個數；反之，如果一個數的約數個數是奇個數，那麼這個數一定是一個完全平方數。
（2） 如果一個數不是完全平方數，那麼這個數的約數個數一定是偶個數；反過來，如果一個數的約數個數是偶個數，那麼這個數一定不是完全平方數。
舉例說明如下：
完全平方數
，所以36的約數的個數為（2＋1）×（2＋1）＝9，是奇個數。
非完全平方數
，所以50的約數的個數為（1＋1）×（2＋1）＝6，是偶個數。
