|
|
二、例題精講
請先思考一下以下例題，然後按例題來顯示有關解說。
例1 
列舉法
（1）求48和64的最大公因數；
（2）求8和12的最小公倍數。
解
（1）48的因數有：1，2，3，4，6，8，12，16，24，48；
64的因數有1，2，4，8，16，32，64。
因為48和64公有的因數有1，2，4，8，16，
所以（48，64）＝16。
（2）8的倍數有：8，16，24，32，40，48，56，64，72，…；
12的倍數有：12，24，36，48，60，72， …。
因為8和12的公倍數有：24，48，72， …，
所以[8，12]＝24
例3
短除法
求42，168，252的最大公約數和最小公倍數。
解
因為
所以 （42，168，252）＝2×7×3＝42。
因為
所以[42，168，252]＝2×7×3×2×1×2×3＝504。
記住
注意用短除法求最大公因數和最小公倍數的區別。
求ｎ個數的最大公因數：
（1）必須每次都用ｎ個數的公因數去除。
（2）一直除到ｎ個數的商互質（但不一定兩兩互質）。
（3）ｎ個數的最大公因數即為短除式中所有除數的乘積。
求ｎ個數的最小公倍數：
（1）必須先用（如果有）ｎ個數的公因數去除，除到ｎ個數沒有除去1以外的公因數後，再用ｎ－1個數的公因數去除，除到ｎ－1個數沒有除1以外的公因數後，再用ｎ－2個數的公因數去除，如此繼續下去，為保證這一條，每次所用的除數均可選質數。
（2）只要有兩個數（被除數）能被同一數整除，就要繼續除，一定要除到ｎ個數的商兩兩互質為止。
（3）ｎ個數的最小公倍數即為短除式中，所有除數和最後兩兩互質的商的乘積。
例5
用最大公約數求最小公倍數
根據最大公約數與最小公倍數的乘積為這些數的乘積可知，要求兩個數的最小公倍數，可先求出這兩個數的最大公約數，再用最大公約數去除這兩個數的乘積，就能得到它們的最小公倍數。
例如，因為（56，42）＝14，所以[56，42]＝56×42÷14＝168。
求36,963與59,570的最大公約數。
解
用輾轉相除法，
所以（36,963，59,570）＝37。
上面的方法計算量很大。能否簡化運算呢？
通過觀察容易發現，36,963有約數3×3。 而59,570沒有質因數3。 但59,570有質因數2和5，而36,963沒有質因數2和5。 所以可以從36,963中分解出3×3和從59,570中分解出2×5，再求其餘部分的最大公約數。
36,963＝3×3×4,107
59,570＝2×5×5,957
所以（36,963，59,570）＝37。
由此可見，求最大公約數的幾種方法並非是截然分開的。如能把他們結合起來使用將更為有效。
例7
下面兩個算式中，得數較大的是哪一個？
（1） ； （2） 。
分析
如要算出得數，計算量很大。比較一下兩個式子。括號內都是兩個分子為1的分數相加。如果能使括號外部分相同。那麼括號內部分就好比較了。
解
因為[30，40]＝120，則能使
 ，
 ，
由於 大於 ， 大於 ，所以（2）式得數較大。
記住
最大公約數與最小公倍數的性質，在解題中會經常遇到。
例9
已知兩個自然數的差為2，它們的最小公倍數與最大公約數之差為142，求這兩個自然數。
分析
設其中一個自然數的值為ｘ，另一個則為ｘ＋2，那麼這兩個自然數的最大公約數只有兩種可能，一個為1，一個為2。
若公約數為1，則它們的最小公倍數為142＋1＝143。 又因為最大公約數乘以它們的最小公倍數恰為兩個自然數的積，所以
1×143＝ａ×（ａ＋2）＝11×13。
若公約數2，則它們的最小公倍數為142＋2＝144，而
2×144＝（ａ＋2）×ａ＝16×18。
故本題有兩個答案。
解
設其中一個自然數為ｘ，另一個為ｘ＋2。
（1）當（ｘ，ｘ＋2）＝1時，
[ｘ，ｘ＋2]＝142＋1＝143，
而（ｘ，ｘ＋2）×[ｘ，ｘ＋2]＝1×143＝ｘ×（ｘ＋2）。
所以ｘ＝11，ｘ＋2＝13。
（2）當（ｘ，ｘ＋2）＝2時，
[ｘ，ｘ＋2]＝142＋2＝144，
而（ｘ，ｘ＋2）×[ｘ，ｘ＋2]＝2×144＝ｘ×（ｘ＋2）。
所以ｘ＝16，ｘ＋2＝18。
例10
已知兩個自然數的和是60，它們的最大公約數與最小公倍數之和是84，求這兩個自然數各是多少？
分析
不妨設這兩個自然數為ａ、ｂ，若（ａ，ｂ）＝ｍ，則 ， ，且 。
由題意可知ａ＋ｂ＝60，即
 ，
 め
所以 。
又因為 ，故得知ｍ為60，84的約數。
而（60，84）＝12，所以ｍ只可取1、2、3、4、6、12六種可能值，但當ｍ取1、2、3、4、6時均不能滿足
 和 。
所以ｍ僅能取12，則 ，
 。
 ，
 。
若 ， 分別取2、3時，則相對應的ａ、ｂ值為24和36。
解
設這兩個自然數為ａ、ｂ。令（ａ，ｂ）＝ｍ，有 ， ，（ ， 為ａ，ｂ除以ｍ後的商）
又因為 。
而 ，
 ，
所以ｍ為60，84的約數。又因（60，84）＝12，所以ｍ只可取1、2、3、4、6、12六種可能。
當ｍ取1、2、3、4、6均不能使上述兩式成立。故ｍ應取12。
由 ，ｍ＝12，得 。又由 ， ｍ＝12， ，得 。
所以、應分別取2、3，得ａ＝12×2＝24，ｂ＝12×3＝36，故ａ、ｂ可分別取24和36。
這兩個自然數為24和36。
在掌握了最大公約數、最小公倍數的有關概念後，把這兩個概念連在一起的公式：
[ａ，ｂ]×（ａ，ｂ）＝ａ×ｂ
就顯得非常重要，它非常明確地表達了這兩個概念之間的關係，表明最大公約數與最小公倍數之間可以互相轉化，這往往是解決有關整數問題的重要工具，例10就是一個典型的例子。
|
內容取材自上海華東師範大學出版社《奧數教程》，現代教育研究社及華東師範大學出版社聯合出版。版權所有，不得翻印。
|
|
