奧林匹克數學教材庫第三冊內容

二、例題精講

例題： 例1 例2 例3 例4 例5 例6 例7 例8

請先思考一下以下例題，然後按例題來顯示有關解說。

例1

用「數的分組法」構造抽屜

從1，2，3， …，100這100個數中任意挑出51個數來，證明在這51個數中，一定有：（1）2個數互質；（2）2個數的差為50；（3）8個數，它們的最大公約數大於1。

證明

（1）將100個數分成50組：

｛1，2｝，｛3，4｝，…，｛99，100｝。

在選出的51個數中，必有2個數屬於同一組，這一組的2個數是兩個相鄰的整數，它們一定是互質的。

（2）將100個數分成50組：

｛1，51｝，｛2，52｝，…，｛50，100｝。

在選出的51個數中，必有2個數屬於同一組，這一組的2個數的差為50。

（3）將100個數分成5組（一個數可以在不同的組內）：

第一組：2的倍數，即｛2，4，…，100｝；

第二組：3的倍數，即｛3，6，…，99｝；

第三組：5的倍數，即｛5，10，…，100｝；

第四組：7的倍數，即｛7，14，…，98｝；

第五組：1和大於7的質數即｛1，11，13，…，97｝。

第五組中有22個數，故選出的51個數至少有29個數在第一組到第四組中，根據抽屜原理總有8個數在第一組到第四組的某一組中，這8個數的最大公約數大於1。

例2

夏令營組織1,987名營員去遊覽故宮、景山公園、北海公園，規定每人必須去一處，最多去兩處遊覽，那麼，至少幾個人遊覽的地方完全相同？

解

首先弄清楚一共有多少種不同的遊覽情況，並把它們表示出來，為此，設某人遊覽某處記作「1」，沒去某處記作「0」，並用有序數組｛ａ、ｂ、ｃ｝表示某人遊覽的情況，ａ＝1表示去了故宮，ａ＝0表示沒去故宮；ｂ＝1表示去了景山，ｂ＝0表示沒去景山，ｃ＝1表示去了北海公園，ｃ＝0表示沒去北海公園。

例如，｛1，1，0｝表示某人遊覽了故宮和景山公園，而沒去北海公園，由於每人必須去一處，且最多只能去兩處，所以遊覽的不同情況共有下列六種可能：

｛1，1，0｝，｛1，0，1｝，｛0，1，1｝，

｛1，0，0｝，｛0，1，0｝，｛0，0，1｝。

這樣，我們可以把六種情況看作6個「抽屜」，由於1,987＞1,986＝331×6（1,987＝331×6＋1），根據抽屜原則2，至少有332人遊覽的地方相同。

說明

這一問題的關鍵是要把不同的遊覽情況考慮周全，為此採用上述數組表示不同情況，這裏規定了「每人必須去一處，最多去兩處遊覽」。如果沒有這種限制，那麼有多少種不同的遊覽情況？至少有幾個人遊覽的地方相同？這個問題留給讀者當作練習。

例3

用「圖形分割法」構造抽屜

在邊長為1的正方形內有任意5個點，證明：一定存在兩個點，它們的距離大於。

證明

連接正方形對邊中點，把正方形分成四個全等的邊長為的小正方形（如圖），由於正方形內有5個點，則必有兩點在同一個小正方形內，而邊長為的正方形內兩點之間的最大距離為，所以在同一小正方形內的這兩點的距離不大於。

記住

解這道題並不難，但是關鍵還是把抽屜造好。比如此題，如果把正方形按對角線分成四個等腰直角三角形做抽屜（如圖），雖然有兩點在同一個抽屜內，但是並不能證明這兩點的距離不大於（因為若兩點恰在正方形的相鄰頂點，這兩點也可以在同一個抽屜內，而這兩點的距離大於）。

例4

在一個邊長為1的正方形內，任意給定9個點，證明：在以這些點為頂點的各個三角形中，必有一個三角形，它的面積不大於。

證明

用對邊中點的連線將正方形分成四個面積均為的小正方形，由於是9個點分佈在四個小正方形內，則至少有一個小正方形的內部或邊界上，至少有三個給定的點（如圖），設這三個點為A、B、C，本題只須證明，△ABC的面積不大於小正方形（面積為）的面積的一半。

現在分幾種情況加以討論。

（1）如果點A、B、C在同一條直線上，則△ABC的面積為O，結論顯然成立；

（2）如果△ABC中，有一邊平行於小正方形的一邊，則結論也顯然成立；

（3）如果△ABC的三邊都不平行於這個小正方形，那麼過這三個頂點，作三條直線平行於這個小正方形的一條邊（如圖），由於△ABC三邊與小正方形的邊不平行，則必有一邊與這三條直線中的一條相交，不妨設GH交AC於D，則：

記住

本題也可以把正方形等分成4個面積為的小矩形，以這4個小矩形做抽屜，已知9點至少有三點在同一個小矩形的內部或邊界上，再證明這三點組成的三角形的面積不大於小矩形面積的一半。

例5

用「染色分類法」構造抽屜

證明在任何六個人的聚會上，總有三個人互相認識，或者總有三個人彼此之間都不認識。

分析

為了表示六個人之間的相互認識或不認識的關係，我們用空間的六個點代表六個人，如果某兩人相互認識，那麼連結表示這兩人的點的線段並染成紅色，如果兩人不認識，那麼相應的線段就染成藍色，這樣六個人的聚會問題，就可以換另一種說法：空間有六個點A，B，C，D，E，F，其中沒有三點共線，如果把每兩點間的連線染上紅色或藍色，不管怎麼染法，總有一個三邊是同一顏色的三角形。

證明

考察從某一點（如A點）出發的五條線段，由於它們不是染紅色便是染藍色，把每種顏色看作一個「抽屜」，根據抽屜原則2，其中至少有三條線段染了相同顏色，不妨設為紅色（圖中實線所示），假定A點沿此三條紅線段與B、C、D連結，並且用虛線把B、C、D三點用三條線段連結起來，如果有一條虛線染的是紅色，那麼它與兩條已經染的是紅色的實線，組成了一個全紅的三角形，如果三條虛線全是藍色的，那麼△BCD就是一個全藍的三角形，這樣問題就得到了證明。

例6

如下表是一個3行10列共30個小正方形的長方形，現在把每個小方格添上紅色或黃色，請證明無論怎麼添法一定能找到兩列，它們的添色方式完全相同。

解

因為每一列有三格，用兩種顏色去塗三個方格，試一試便發現顯然有八種塗法。

現我們選取這8種塗法為8隻「抽屜」，把10列放入8隻抽屜中，由抽屜原理，至少有一隻抽屜有兩個相同的元素，即至少有兩列塗色方式完全相同。

例7

用「剩餘類法」構造抽屜

一些孩子在沙灘上玩耍，他們把石子堆成許多堆，其中有一個孩子發現，從石子堆中任意選出五堆，其中至少有兩堆石子數之差是4的倍數，你說他的結論對嗎？為甚麼？

解

我們把五堆石子數看作任意五個自然數，它們被4除，其餘數不外乎是0，1，2，3（若當一個數能被4整除時，則記其餘數為0）四種可能。如果把每一種餘數看作一個「抽屜」，那麼餘數相同的兩數就在同一「抽屜」裏。根據抽屜原則，五個自然數被4除後必有兩個數是相同的，顯然這兩個數之差是4的倍數。因此，本題的結論是正確的。

說明

按照模ｎ的剩餘類構造「抽屜」的方法，也是一種常見的構造「抽屜」的方法。

善於思考問題的同學從這個例題中不難發現：任意三個自然數中，必有兩個自然數之差是偶數（2的倍數）；任意四個自然數中必有兩個自然數之差為3的倍數；…；任意一百個自然數中，必有兩個自然數之差為99的倍數等等。

例8

任意給定一個正整數ｎ，一定可以將它乘以適當的整數，使得乘積為完全由0及7組成的數。

分析

首先試驗幾個具體的正整數。

當ｎ＝2時，2×35＝70；當ｎ＝3時，3×259＝777；當ｎ＝4時，4×1,925＝7,700；當ｎ＝5時，5×14＝70，這種試驗使我們對此結論更確信了，但以上的觀察試驗不是證明，下面我們將巧妙地構造「抽屜」，運用抽屜原則來證實題目中的結論。

證明

現在考察（ｎ＋1）個數。

7，77，777，…，，位，把它們分別記作，，…，　，，如果將這（ｎ＋1）個數中的某一個數ａ，除以ｎ，則餘數只可能為0，1，2，…，（ｎ－1）中的某一個，由此可作出ｎ個「抽屜」：