奧林匹克數學教材庫第三冊內容

四、測試題

作答時間：

試題：

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六（1）班有49名學生，數學王老師瞭解到在期中考試中該班英文成績除3人外均在86分以上後就說：「我可以斷定，本班同學至少4人成績相同，請問王老師說得對嗎？為甚麼？

對。

任給7個不同的整數，求證：必有兩個整數，其和或差是10的倍數。

證明略。

某校初二年級學生身高的厘米數都為整數，且都不大於160厘米，不小於150厘米，問：在至少多少個初二學生中一定能有4個人身高相同？

34個。

從1，2，…，100這100個數中任意選出51個數，證明在這51個數中，一定：

（1）有兩個數的和為101；

（2）有一個數是另一個數的倍數；

（3）有一個數或若干個數的和是51的倍數。

證：（1）將100個數分成50組：｛1，100｝，｛2，99｝，…，｛50，51｝。在選出的51個數中，必有兩數屬於同一組，這一組的兩數之和為101。

（2）將100個數分成10組：｛1，2，4，8，16，32，64｝，｛3，6，12，24，48，96｝，｛5，10，20，40，80｝，｛7，14，28，56｝，｛9，18，36，72｝，｛11，22，44，88｝，｛13，26，52｝，｛15，30，60｝，｛49，98｝，｛其餘數｝。其中第10組中有41個數。在選出的51個數中，第10組的41個數全部選中，還有10個數從前9組中選，必有兩數屬於同一組，這一組中的任意兩個數，一個是另一個的倍數。

（3）將選出的51個數排成一列：，，，…，。考慮下面的51個和：，，，…，。若這51個和中有一個是51的倍數，則結論顯然成立；若這51個和中沒有一個是51的倍數，則將它們除以51，餘數只能是1，2，…，50中的一個，故必然有兩個的餘數是相同的，這兩個和的差是51的倍數，而這個差顯然是這51個數（，，，…，）中的一個數或若干個數的和。

在3×7的方格表中，有11個白格，證明：

（1）若僅含一個白格的列只有3列，則在其餘的4列中每列都恰有兩個白格；

（2）只有一個白格的列只有3列。

證：（1）在其餘4列中有一列含有3個白格，則剩下的5個白格要放入3列中，將3列表格看做3個抽屜，5個白格看做5個蘋果，根據第二抽屜原理，5（＝2×3－1）個蘋果放入3個抽屜，則必有一個抽屜至多有（2－1＝）1個蘋果，即必有一列只含一個白格，也就是說除了原來3列只含一個白格外還有1列含1個白格，這與題設只有1個白格的列只有3列矛盾。所以不會有1列有3個白格，當然也不能再有1列只有1個白格。推知其餘4列每列恰好有2個白格。（2）假設只含1個白格的列有2列，那麼剩下的9個白格要放入5列中，而9＝2×5－1，由第二抽屜原理知，必有1列至多只有2－1＝1（個）白格，與假設只有2列每列只1個白格矛盾。所以只有1個白格的列至少有3列。

已知在邊長為1的等邊三角形內（包括邊界），任意點了五個點，求證：至少有兩點之間的距離不大於。

證明：如圖，等邊三角形ABC三邊中點為D、E、F，這樣DE，EF，FD，把邊長為1的等邊三角形分割成四個邊長為的等邊三角形。如果規定線段DE、　EF、FD上的點是屬於△DEF的，那麼△ABC內的所有點被劃分為四個不相交的區域，把每個區域看作一個「抽屜」，在△ABC內任意畫五個點，根據抽屜原則，必有兩個點放入同一抽屜中，也就是一定有一個邊長為的等邊三角形，其中包含兩個點，顯然，它們的距離不超過。

有9名數學家，每人至多能講3種語言，每3人中至少有2人能通話。求證：在這9名中至少有3名用一種語言通話。

證：以平面上9個點，，…，表示9個數學家，如果兩人能通話，就把表示他們的兩點聯線，並塗上一種顏色（不同的語言塗上不同顏色）。此時有兩種情況：（1） 9點中有任意兩點都有聯線，並塗了相應的顏色。於是從某一點出發，分別與，，…聯線，又據題意，每人至多能講3種語言，因此，，…中至多只能塗3種不同的顏色，由抽屜原理知，這8條線段中至少有2條同色的線段。不妨設與是同色線段，因此，，這3點表示的3名數學家可用同一種語言通話。（2）9點中至少有2點不聯線，不妨設是與不聯線。由於每3人中至少有兩人能通話，因此從與出發至少有7條聯線。再由抽屜原理知，其中必有4條聯線從或出發。不妨設從出發，又因至多能講3種語言，所以這4條聯線中，至少有2條聯線是同色的，若與同色，則，，這3點表示的3名數學家可用同一種語言通話。

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