奧林匹克數學教材庫第四冊內容

四、測試題

作答時間：

試題：	1.	2.	3.	4.	5.	6.	7.	8.	9.	10.
	11.	12.	13.	14.

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甲、乙兩個工程隊共同完成一項工程需18天，如果甲隊幹3天，乙隊幹4天完成工程的，那麼甲、乙兩隊獨立完成該工程各需多少天？

乙隊獨立完成該工程需要（天），甲隊獨立完成該工程需要（天）。

完成一項工作，需要甲隊幹5天，乙隊幹6天，或者甲隊幹7天，乙隊幹2天，如果甲、乙兩隊獨立完成該工程各需多少天？

從條件中可看出甲隊幹2天，乙隊要幹4天，所以甲隊的工作效率是乙隊的2倍。因此甲隊獨立完成該工程需要5＋6÷2＝8（天），乙隊獨立完成該工程需要8×2＝16（天）。

一件工作甲5小時完成了，乙6小時完成了剩下的一半，餘下的部分由甲、乙合作，還需要多少小時？

（小時）

單獨完成一件工程，甲需要24天，乙需要32天。若甲先做若干天後乙接著做，則共用26天時間，甲做了幾天？

工作天數之比為甲:乙＝24：32＝3：4。即乙幹4天等於甲幹3天，乙每幹4天比甲多用1天。假如這26天都是乙幹的，與甲比較多用26－24＝2（天），推知乙幹了8天。所以甲幹了26－8＝18（天）。

某工程如果由第一、二、三小隊合幹，需12天才能完成；由第一、三、五小隊合幹，需7天才能完成；由第二、四、五小隊合幹，需8天才能完成；由第一、三、四小隊合幹，需42天才能完成，那麼這五個小隊一起合幹，需要多少天才能完成這項工程？

由第一、二、三小隊合幹，每天完成，由第一、三、五小隊合幹，每天完成，由第二、四、五小隊合幹，每天完成，由第一、三、四小隊合幹，每天完成。將它們相加，相當於第一、三小隊幹3天，第二、四、五小隊幹2天，共完成。因此第一、三小隊合幹每天完成。五個小隊一起幹需要（天）。

一批工人到甲、乙兩個工地進行清理工作。甲工地的工作量是乙工地工作量的1.5倍。上午去甲工地的人數是去乙工地人數的3倍，下午這批工人中有的人去甲工地，其他工人到乙工地。到傍晚時，甲工地的工作已做完，乙工地的工作還需4名工人再做1天。那麼，這批工人有多少人？

根據上午去甲工地的人數是去乙工地人數的3倍，可知上午去甲工地的人數是這批工人的，去乙工地人數是這批工人的，又下午去甲工地的人數是這批工人的，去乙工地人數是這批工人的，由此可知甲工地上、下午所完成的工作量之比是：，即甲工地上午完成總工作量的，下午完成總工作量的。這樣，乙工地上午完成的工作量相當於甲工地總工作量的，乙工地下午完成的工作量相當於甲工地總工作量的，到傍晚時，乙工地剩餘的工作量相當於甲工地總工作量的，因為乙工地剩下的工作量還需要4名工人再做1天。所以這批工人有：（人）。

一列快車從甲地開往乙地，需要5小時，一列慢車從乙地開往甲地，所需時間比快車多。兩列火車同時從兩地相對開出2小時後，慢車停止前進，快車繼續行駛96公里與慢車相遇。問甲乙兩地相距多少公里？

小時，小時。所以兩地相距（公里）。

某工廠的一個生產小組，生產一批零件，當每個工人在自己原崗位工作時，9小時可完成這項生產任務，如果交換工人A和B的工作崗位，其他工人生產效率不變時，可提前1小時完成這項生產任務；如果交換工人C和D的工作崗位，其他工人生產效率不變時，也可以提前1小時完成這項生產任務；如果同時交換A和B、C和D的工作崗位，其他工人生產效率不變，可提前多少分鐘完成這項生產任務？

設總工作量為「1」，則原來全組每小時完成，A和B交換後，8小時完成，全組每小時完成，由於其他人的工作效率不變。所以A和B多幹了，C和D交換後，他們兩人每小時也多幹了，A和B、C和D同時交換，他們四人每小時多幹了，全組工人每小時完成，完成這項任務需要（小時）。所以比原來提前9－7.2＝1.8（小時）＝108（分鐘）。

一個水池，甲、乙兩管同時開，5小時灌滿；乙、丙水管同時開，4小時灌滿；如果乙管先開6小時，還需要甲、丙兩管同時開2小時才能灌滿（這時乙管關閉）。那麼乙管單獨灌滿水池需要多少小時？

甲、乙兩管每小時灌水池的；乙、丙兩管每小時灌水池的。因此甲管、丙管各開1小時，乙管開2小時能灌水池的，那麼甲、丙兩管同時開2小時，乙管開4小時可以灌水池的，所以的工作量乙管還要6－4＝2（小時）完成。所以乙管每小時灌水池的，那麼乙管單獨灌滿水池需要（小時）。

10.

有一個蓄水池裝有9根水管，其中一根為進水管，其餘8根為相同的出水管。進水管以均勻的速度不停地向這個蓄水池注水。後來有人想打開出水管，使池內的水全部排光（這時池內已注入了一些水）。如果把8根出水管全部打開，需3小時把池內的水全部排出；如果僅打開5根出水管，需6小時把池內的水全部排出。要想在4.5小時內把池內的水全部排光。需要同時打開多少根出水管？

設打開一根水管每小時可排出水1份，8根水管開3小時共可排出8×3＝24（份），5根水管6小時共可排出5×6＝30（份）， 30－24＝6（份），這6份是（6－3＝）3小時內進水管放進的水。（30－24）÷（6－3）＝2（份），這2份就是進水管每小時進的水。所以需同時打開：[8×3＋（4.5－3）×2]÷4.5＝6（根）進水管。

11.

蓄水池裝有甲、丙兩根進水管和乙、丁兩根出水管。要注滿一池水，單開甲管需要3小時，單開丙管需要5小時；要排空一池水，單開乙管需要4小時，單開丁管需要6小時。現在池內有池水，如果由甲、乙、丙、丁輪流各開1小時的順序連續供水，多少小時後，水池中的水開始溢出水池。

一個輪回水池增加水，5個輪回後，水池共有水（已放水4×5＝20小時），（小時），所以20＋0.75＝20.75（小時）後水池開始溢水。

12.

三條環形跑道交於A點，每條跑道周長均為200米。三名運動員的速度分別為每小時5公里、7公里和9公里。他們同時從A點出發分別沿三條跑道跑步。三名運動員出發後第4次相遇時，已跑了多少分鐘？

三名運動員跑一圈所用時間分別為：（小時），（小時），（小時）。由於25、35、45的最大公約數為5，且25÷5＝5，35÷5＝7，45÷5＝9，所以三名運動員分別跑了5圈、7圈、9圈時第一次相遇，用了小時。所以第四次相遇時所用時間為：（分鐘）。

13.

甲、乙、丙三人做一件工作，原計劃按甲、乙、丙的順序每人一天輪流去做，恰好整數天完成。若按乙、丙、甲的順序輪流去做，則比原計劃多用天；若按丙、甲、乙的順序輪流去做，則比原計劃多用天。已知甲單獨做完這件工作要13天，試問，甲、乙、丙三人一起做這件工作，要用多少天才能完成？

若輪流做，開始的人不同做的天數不相等，因此三人的工作效率也不相等。按甲、乙、丙的順序輪流去做，恰好整數天完成，因此，只有以下兩種可能：即最後一天是甲做的，或者最後一天是乙做的。我們對這兩種可能分別進行分析：（1）若最後一天是甲做的，則甲比乙、丙兩人多做一天，正好整數天完成，即甲＋乙＋丙＋甲＋乙＋丙＋……＋甲；(1) 按乙、丙、甲的順序輪流去做時，乙比甲、丙兩人多做一天，不能完成任務，需由丙再工作天才能做完，即乙＋丙＋甲＋乙＋丙＋甲＋……＋乙＋丙；(2) 按丙、甲、乙的順序輪流去做時，丙比甲、乙兩人多做一天，不能完成任務，需由甲再工作天才能做完，即丙＋甲＋乙＋丙＋甲＋乙＋……＋丙＋甲。(3) 比較(1)和(2)知甲的工效－乙的工效＝丙的工效，比較(1)和(3)知甲的工效－丙的工效＝甲的工效，從而得：乙的工效＝丙的工效＝甲的工效。檢驗：（天）。天數不是整數，所以這一種可能實際上不能成立。（2）若最後一天是乙做的，則丙比甲、乙兩人少做一天，正好整數天完成，即甲＋乙＋丙＋甲＋乙＋丙＋……＋甲＋乙；(1) 按乙、丙、甲的順序輪流去做時，甲比乙、丙兩人少做一天，餘下的工作需由甲再工作天才能做完，即乙＋丙＋甲＋乙＋丙＋甲＋……＋乙＋丙＋甲；(2) 按丙、甲、乙的順序輪流去做時，乙比甲、丙兩人少做一天，餘下的工作需由乙再工作天才能做完，即丙＋甲＋乙＋丙＋甲＋乙＋……＋丙＋甲＋乙。(3) 比較(1)和(2)知甲的工效－丙的工效＝甲的工效，比較(1)和(3)知乙的工效－丙的工效＝乙的工效，從而得：乙的工效＝甲的工效，丙的工效＝甲的工效。檢驗：（天），5×3＋2＝17（天），17是整數，所以這一種可能是唯一符合題意要求的。甲、乙、丙三人一起做這件工作所需要的天數是：（天）。