請先思考一下以下例題，然後按例題來顯示有關解說。
例1 的乘積中有多少個數字是奇數？
的乘積中有多少個數字是奇數？
分析 我們可以從最簡單的9×9的乘積中有幾個奇數著手尋找規律。 9×9＝81，有1個奇數； 99×99＝99×（100－1）＝9,900－99＝9,801，有2個奇數； 999×999＝999×（1,000－1）＝999,000－999＝998,001，有3個奇數； …… 從而可知，的乘積中共有10個數字是奇數。
我們可以從最簡單的9×9的乘積中有幾個奇數著手尋找規律。
9×9＝81，有1個奇數；
99×99＝99×（100－1）＝9,900－99＝9,801，有2個奇數；
999×999＝999×（1,000－1）＝999,000－999＝998,001，有3個奇數；
……
從而可知，的乘積中共有10個數字是奇數。
例2 如圖所示：線段AB上共有10個點（包括兩個端點），那麼這條線段上一共有多少條不同的線段？
如圖所示：線段AB上共有10個點（包括兩個端點），那麼這條線段上一共有多少條不同的線段？
分析 先從AB之間只有一個點開始，再逐步增加AB之間的點數，找出點和線段之間的規律。 我們可以採用列表的方法清楚地表示出點和線段數之間的規律。 AB之間只有1個點：線段有1＋2＝3條。 AB之間只有2個點：線段有1＋2＋3＝6條。 AB之間只有3個點：線段有1＋2＋3＋4＝10條。 AB之間只有4個點：線段有1＋2＋3＋4＋5＝15條。 …… 不難發現，當AB之間有8個點時，線段有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝45條。 若再進一步研究可得出這樣的規律，線段數＝點數×（點數－1）÷2。
先從AB之間只有一個點開始，再逐步增加AB之間的點數，找出點和線段之間的規律。
我們可以採用列表的方法清楚地表示出點和線段數之間的規律。
AB之間只有1個點：線段有1＋2＝3條。
AB之間只有2個點：線段有1＋2＋3＝6條。
AB之間只有3個點：線段有1＋2＋3＋4＝10條。
AB之間只有4個點：線段有1＋2＋3＋4＋5＝15條。
不難發現，當AB之間有8個點時，線段有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝45條。
若再進一步研究可得出這樣的規律，線段數＝點數×（點數－1）÷2。
例3 計算的值。
計算的值。
分析 這是一道特殊的計算題，當然我們可以採用分別求出每個數的立方是多少，再求和計算出這題的結果。這樣的計算工作量比較大，是否可以採用其他較簡便的方法計算呢？下面我們就來研究這個問題。 ； ； ； …… 這樣我們可以容易地得到 通過這個例題我們可以得到
這是一道特殊的計算題，當然我們可以採用分別求出每個數的立方是多少，再求和計算出這題的結果。這樣的計算工作量比較大，是否可以採用其他較簡便的方法計算呢？下面我們就來研究這個問題。
；
這樣我們可以容易地得到
通過這個例題我們可以得到
例4 2,000個學生排成一行，依次從左到右編上1∼2,000號，然後從左到右按一、二報數，報一的離開隊伍，剩下的人繼續按一、二報數，報一的人離開隊伍……按這個規律如此下去，直至當隊伍只剩下一人為止。問：最後留下的這個人原來的號碼是多少？
2,000個學生排成一行，依次從左到右編上1∼2,000號，然後從左到右按一、二報數，報一的離開隊伍，剩下的人繼續按一、二報數，報一的人離開隊伍……按這個規律如此下去，直至當隊伍只剩下一人為止。問：最後留下的這個人原來的號碼是多少？
分析 我們通過前幾次留在隊伍中的學生的編號找出規律。 第一次留下的學生編號是：2，4，6，8，10，…… 都是2的倍數，即的倍數。 第二次留下的學生編號是：4，8，12，16，20，……都是4的倍數，即的倍數。 第三次留下的學生編號是：8，16，24，32，40，……都是8的倍數，即的倍數。 …… 由於； 這樣可知，最後留下學生的號碼一定是1,024。
我們通過前幾次留在隊伍中的學生的編號找出規律。
第一次留下的學生編號是：2，4，6，8，10，…… 都是2的倍數，即的倍數。
第二次留下的學生編號是：4，8，12，16，20，……都是4的倍數，即的倍數。
第三次留下的學生編號是：8，16，24，32，40，……都是8的倍數，即的倍數。
由於；
這樣可知，最後留下學生的號碼一定是1,024。
例5 圓周上兩個點將圓周分為兩半，在這兩點上寫上數1；然後將兩段半圓弧對分，在兩個分點上寫上相鄰兩點上的數之和；再把4段圓弧等分，在分點上寫上相鄰兩點上的數之和（如圖），如此繼續下去，問第6步後，圓周上所有點上的數之和是多少？
圓周上兩個點將圓周分為兩半，在這兩點上寫上數1；然後將兩段半圓弧對分，在兩個分點上寫上相鄰兩點上的數之和；再把4段圓弧等分，在分點上寫上相鄰兩點上的數之和（如圖），如此繼續下去，問第6步後，圓周上所有點上的數之和是多少？
分析 先可以採用作圖嘗試尋找規律。 第一步，圓周上有兩個點，第二步有四個點，第三步有八個點，第四步有十六個點……第六步有64個點。 因為問題是求圓周上所有數的和，所以我們不必去考慮每一步具體增加了哪些數，只須知道每一步增加數的總和是多少。 第一步：圓周上有兩個點，兩個數的和是1＋1＝2； 第二步：圓周上有四個點，四個數的和是1＋1＋2＋2＝6；增加數之和恰好是第一步圓周上所有數之和的2倍。 第三步：圓周上有八個點，八個數的和是1＋1＋2＋2＋3＋3＋3＋3＝18，增加數之和恰好是第二步圓周上所有數之和的2倍。 第四步：圓周上有十六個點，十六個數的和是1＋1＋2＋2＋3＋3＋3＋3＋4＋4＋4＋4＋5＋5＋5＋5＝54，增加數之和恰好是第三步圓周上所有數之和的2倍。 …… 這樣我們可以知道，圓周上所有數之和是前一步圓周上所有數之和的3倍。用遞推法關係表示。 設為第ｎ步後得出的圓周上所有數之和，則 利用上式可以得到： 因為，所以： 。
先可以採用作圖嘗試尋找規律。
第一步，圓周上有兩個點，第二步有四個點，第三步有八個點，第四步有十六個點……第六步有64個點。
因為問題是求圓周上所有數的和，所以我們不必去考慮每一步具體增加了哪些數，只須知道每一步增加數的總和是多少。
第一步：圓周上有兩個點，兩個數的和是1＋1＝2；
第二步：圓周上有四個點，四個數的和是1＋1＋2＋2＝6；增加數之和恰好是第一步圓周上所有數之和的2倍。
第三步：圓周上有八個點，八個數的和是1＋1＋2＋2＋3＋3＋3＋3＝18，增加數之和恰好是第二步圓周上所有數之和的2倍。
第四步：圓周上有十六個點，十六個數的和是1＋1＋2＋2＋3＋3＋3＋3＋4＋4＋4＋4＋5＋5＋5＋5＝54，增加數之和恰好是第三步圓周上所有數之和的2倍。
這樣我們可以知道，圓周上所有數之和是前一步圓周上所有數之和的3倍。用遞推法關係表示。
設為第ｎ步後得出的圓周上所有數之和，則
利用上式可以得到：
因為，所以：
。
例6 4個人進行籃球訓練，互相傳球接球，要求每個人接球後馬上傳給別人，開始由甲發球，並作為第一次傳球，第五次傳球後，球又回到甲手中，問有多少種傳球方法？
4個人進行籃球訓練，互相傳球接球，要求每個人接球後馬上傳給別人，開始由甲發球，並作為第一次傳球，第五次傳球後，球又回到甲手中，問有多少種傳球方法？
分析 設第n次傳球後，球又回到甲手中的傳球方法有種。可以想象前ｎ－1次傳球， 如果每一次傳球都任選其他三人中的一人進行傳球，即每次傳球都有3種可能，由乘法原理，共有（種）傳球方法。這些傳球方法並不是都符合要求的，它們可以分為兩類，一類是第ｎ－1次恰好傳到甲手中，這有種傳法，它們不符合要求，因為這樣第ｎ次無法再把球傳給甲；另一類是第ｎ－1次傳球，球不在甲手中，第ｎ次持球人再將球傳給甲，有種傳法。根據加法原理，有。 由於甲是發球者，一次傳球後球又回到甲手中的傳球方法是不存在的，所以。 利用遞推關係可以得到 ， ， ， 。 這說明經過5次傳球後，球仍回到甲手中的傳球方法有60種。 當然這題也可以利用列表法求解。 我們可以這樣想，第ｎ次傳球後，球不在甲手中的傳球方法，第ｎ＋1次傳球後球就可能回到甲手中，所以只需求出第四次傳球後，球不在甲手中的傳法共有多少種。 從表中可以看出經過五次傳球後，球仍回到甲手中的傳球方法共有60種。
設第n次傳球後，球又回到甲手中的傳球方法有種。可以想象前ｎ－1次傳球， 如果每一次傳球都任選其他三人中的一人進行傳球，即每次傳球都有3種可能，由乘法原理，共有（種）傳球方法。這些傳球方法並不是都符合要求的，它們可以分為兩類，一類是第ｎ－1次恰好傳到甲手中，這有種傳法，它們不符合要求，因為這樣第ｎ次無法再把球傳給甲；另一類是第ｎ－1次傳球，球不在甲手中，第ｎ次持球人再將球傳給甲，有種傳法。根據加法原理，有。
由於甲是發球者，一次傳球後球又回到甲手中的傳球方法是不存在的，所以。
利用遞推關係可以得到
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這說明經過5次傳球後，球仍回到甲手中的傳球方法有60種。
當然這題也可以利用列表法求解。
我們可以這樣想，第ｎ次傳球後，球不在甲手中的傳球方法，第ｎ＋1次傳球後球就可能回到甲手中，所以只需求出第四次傳球後，球不在甲手中的傳法共有多少種。
從表中可以看出經過五次傳球後，球仍回到甲手中的傳球方法共有60種。
內容取材自上海華東師範大學出版社《奧數教程》，現代教育研究社及華東師範大學出版社聯合出版。版權所有，不得翻印。
