解
我們知道最簡真分數即是分子與分母互質且分子比分母小的分數。
因為1,001＝7×11×13。在1至1,000中：
7的倍數有[1,000÷7]＝142（個）
11的倍數有[1,000÷11]＝90（個）
13的倍數有[1,000÷13]＝76（個）
7×11的倍數有[1,000÷77]＝12（個）
7×13的倍數有[1,000÷91]＝10（個）
11×13的倍數有[1,000÷143]＝6（個）
7×11×13的倍數有[1,000÷1,001]＝0（個）
根據容斥原理得：能被7整除，能被11整除或被13整除的數共有142＋90＋76－12－10－6＋0＝280（個）。
那麼，1至1,000中，不能被7整除、不能被11整除，也不能被13整除的數共有：1000－280＝720（個）。也就是說分母是1,001的最簡真分數有720個。
由於若
是最簡真分數，那麼
也是最簡真分數。這樣720個最簡真分數的和等於720÷2＝360。
答
分母是1,001的最簡真分數有720個。它們的和是360。
