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在1至10,000中不能被5或7整除的自然數共有多少個？
在1∼10,000中能被5整除的自然數有[10,000÷5]＝2,000個，在1∼10,000中能被7整除的自然數有[10,000÷7]＝1,428個，在1∼10,000中能被5×7整除的自然數有[10,000÷35]＝285個，能被5或7整除的數共有2,000＋1,428－285＝3,143（個），所以不能被5或7整除的數有：10,000－3,143＝6,857（個）。
某班共有35名男生，其中22人參加足球隊，13人參加籃球隊，12人參加排球隊。已知沒有一個人同時參加3個隊，且每人至少參加一個隊，有6個人既參加足球隊又參加籃球隊，有3個人既參加籃球隊又參加排球隊，那麼既參加足球隊又參加排球隊的有多少人？
既參加足球隊又參加排球隊的有：22＋13＋12－35－6－3＝3（人）。
在80個學生中，音樂愛好者有36人，體育愛好者有55人，那麼既愛好音樂又愛好體育的人最少有多少人?最多有多少人？
最少有36＋55－80＝11（人）；最多有36人。
圖中A、B、C分別代表面積為10、11、13的三張不同形狀的紙片，它們重疊放在一起蓋住的面積是22， 且A與B、B與C、C與A公共部分的面積分別是6、4、5，求A、B、C三個圖形公共部分（即陰影部分）的面積。
陰影部分的面積是22＋6＋4＋5－10－11－13＝3。
85人訂了A、B、C三種雜誌，訂A種雜誌有49人，訂B種雜誌有62人，訂C種雜誌有41人，訂A、B兩種雜誌有24人，訂B、C兩種雜誌有22人，訂A、C兩種雜誌有25人，問三種雜誌都訂的有多少人？
三種雜誌都訂的有：85－（49＋62＋41－24－22－25）＝4（人）。
求從1到1,995中不能被5整除，也不能被6或7整除的自然數的個數。
在1∼1,995中，能被5、6、7、5×6、5×7、6×7、5×6×7整除的數分別有399個、332個、285個、66個、57個、47個和9個。所以，在1∼1,995這些自然數中，或能被5整除、或能被6整除、或能被7整除的數有：399＋332＋285－66－57－47＋9＝855（個），不能被5、6或7整除的自然數有：1,995－855＝1,140（個）。
某學校有學生1,050人，其中600人訂閱《語文報》，450人訂閱《數學報》，有210人訂閱《科技報》，全校學生中有350人訂閱兩種報刊，有88人訂閱三種報刊，那麼這個學校有多少人沒有訂閱任何報刊？
至少訂閱一份報刊的有600＋450＋210－350－88×2＝734（人），所以三種報刊都沒有訂的有1,050－734＝316（人）。
在自然數中，不超過105，且與105互質的數共有多少個？
105＝3×5×7，即105能被3、5、7這三個質因數整除。所以我們要求的是與105互質的數的個數。1∼105中，是3、5、7、3×5、3×7、5×7、3×5×7的倍數的數分別有35、21、15、7、5、3、1個。所以能被3、5或7整除的數有35＋21＋15－（7＋5＋3）＋1＝57（個）。那麼，不超過105，且與105互質的數有105－57＝48（個）。
內容取材自上海華東師範大學出版社《奧數教程》，現代教育研究社及華東師範大學出版社聯合出版。版權所有，不得翻印。
