十八、同餘問題	選擇更多第四冊課題...... ---------------------------- 一、  分數的計算 二、  分數的大小比較 三、  分數數列求和 四、  繁分數 五、  分數、百分數應用題 六、  巧配濃度 七、  工程問題 八、  比和比例關係 九、  圓的周長和面積 十、  扇形 十一、  長方體和正方體 十二、  圓柱和圓錐 十三、  加法原理和乘法原理 十四、  遞推的方法 十五、  重疊問題 十六、  鐘面上的數學問題 十七、  上樓梯問題 十八、  同餘問題 十九、  不定方程 二十、  最大與最小 二十一、  從整體看問題 二十二、  反過來考慮 二十三、  不變量 二十四、  染色問題 二十五、  對策問題 ---------------------------- 綜合測試題（一） 綜合測試題（二）

二、例題精講   例題： 例1 例2 例3 例4 例5 例6   請先思考一下以下例題，然後按例題來顯示有關解說。 例1 1,991和1,769除以某一個自然數ｎ，餘數分別為2和1，那麼ｎ最小是多少? 解 1,991－2＝1,989能被ｎ整除，同理1,769－1＝1,768也能被這個數ｎ整除。所以ｎ是1,989與1,768的最大公約數的約數，且應大於2。 因為（1,989，1,768）＝13×17，所以ｎ最小是13。 例2 把由1開始的自然數依次寫下來，直寫到第201位為止，這個數除以3的餘數是幾? 解 把由1開始的自然數依次寫下來，直寫到第201位為止，一位數寫了1×9＝9（個）數碼，兩位數寫了2×90＝180（個）數碼，三位數寫了（201－9－180）÷3＝4（個），即寫到了99＋4＝103，因此由1開始的自然數依次寫下來的201位數是由1開始的103個連續自然數組成的。經過觀察發現，不論從哪開始，每連續3個自然數的各位上數字的和能被3整除。因為一共是103個自然數，所以103÷3＝34……1，前102個自然數（3×34＝102）的各位上數字之和都能被3整除，而201位數的最後三位數是103，所以： 103÷3＝34……1，即這個201位數除以3餘數是1。 例3 將既能被5整除又能被7整除的自然數自105起從小到大排成一行，共有2,000個數。這2,000個數的和被11除的餘數是幾? 解 5和7的公倍數從105起：105，140，175，210，245，280，315，350，385，420，455，490…… 這一行被11除的餘數分別是：6，8，10，1，3，5，7，9，0，2，4……並以此11個數為周期循環出現，這11個數的和55正好是11的倍數。因為2,000÷11＝181……9，而前9個數的和49被11除的餘數是5，所以這2,000個數的和被11除的餘數是5。 例4 有1,991個9組成的多位數999…99除以74所得的餘數是多少? 解 因為9,999÷74＝135……9，即135×74＝9,990，這說明凡是9990…00形式的數均能被74整除，而1,991個9可以分為若干段這種數（每一段中有3個9）。因為1,991÷3＝663……2，餘數為2，說明去掉這些663段後，還剩2個9。而99÷74＝1……25，所以由1,991個9組成的多位數999…99除以74所得的餘數是25。 例5 除以3的餘數是多少? 解 由數的整除性質和同餘性質可推知： （1）3的倍數的任何次方（0除外）除以3的餘數為0，可知除以3餘0。 （2）不是3的倍數的偶次方除以3的餘數為1，可知除以3分別餘1。 （3）除以3餘1；與對於3同餘，它們除以3餘2；與對於3同餘，它們除以3餘1。 因為（1＋1＋1＋1＋2＋1）÷3＝2……1，所以除以3的餘數是1。 例6 ａ除以5餘1，ｂ除以5餘4，如果3ａ＞ｂ，那麼3ａ－ｂ除以5餘幾? 解 因為ａ≡1（ｍｏｄ5），所以3ａ≡3（ｍｏｄ5），或者 3ａ≡8（ｍｏｄ5）， (1) 又因為 ｂ≡4（ｍｏｄ5）， (2) 所以(1)－(2)得3ａ－ｂ≡8－4≡4（ｍｏｄ5）。 因此3ａ－ｂ除以5餘4。 <- 一、知識要點和基本方法 三、練習題Ａ組 ->

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