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四、測試題
作答時間：
請按開始作答測試題，
完成後按「提交試卷」來評核學習成果。
1.
被3除餘2，被5除餘3，被7除餘4的最小自然數是多少？
被3除餘2的數有2，5，8，11……其中8被5除餘3，並且是滿足此條件的最小數，而[3，5]＝15，所以8＋15＝23，23＋15＝38，38＋15＝53，……都滿足被3除餘2且被5除餘3。而53又滿足了被7除餘4這個條件，並且是最小的，因此所求的最小自然數是53。
2.
有一個不等於1的整數，它除967，1,000，2,001得到相同的餘數，那麼這個整數是多少？
2,001－1,000＝1,001＝7×11×13，1,000－967＝33＝3×11。由數的整除性質和同餘性質可推知：這個整數是11。
3.
少年宮遊樂廳內懸掛著200個彩色燈泡，這些燈泡或明或暗，十分有趣。這200個燈泡按1∼200編號，它們的亮暗規則是：
第一秒，全部燈泡變亮；
第二秒，凡是編號為2的倍數的燈泡由亮變暗；
第三秒，凡是編號為3的倍數的燈泡改變原來的亮暗狀態，即亮的變暗，暗的變亮；
一般地，第ｎ秒凡編號為ｎ的倍數的燈泡改變原來的亮暗狀態。
這樣繼續下去，每4分鐘一個周期。問：第200秒時，亮著的燈泡有多少個？
某個燈泡，如果它的亮暗變化的次數是奇數，那麼它是亮的。根據題意可知，號碼為K的燈泡，亮暗變化的次數等於K的約數的個數，而如果K的約數的個數是奇數，則K一定是平方數。所以200秒時，編號是平方數的燈泡是亮的。因為 ，所以200以內有14個平方數，即200秒時亮著的燈泡有14個。
4.
號碼分別為101、126、173、193的四個運動員進行乒乓球比賽，規定每兩人比賽的盤數是他們號碼的和被3除所得的餘數。那麼打球盤數最多的運動員打了多少盤？
四個運動員的號碼的和被3除所得的餘數分別是2、0、2、1。所以126號運動員打的盤數最多，打了2＋2＋1＝5（盤）。
5.
一個十幾歲的男孩，把自己的歲數寫在父親的歲數之後，組成一個四位數，從這個四位數中減去他們父子兩人歲數的差得4,289。問男孩幾歲?父親幾歲？
設父親的年齡是ｘ歲，兒子年齡是ｙ歲，依題意得：100ｘ＋ｙ－（ｘ－ｙ）＝4,289，即：4,289＝99ｘ＋2ｙ。……(1)如果用99去除4289可得4,289÷99＝43……32，即：4,289＝99×43＋2×16。……(2)比較(1)式和(2) 式可得：ｘ＝43，ｙ＝16。所以父親的年齡是43歲，兒子年齡是16歲。
6.
2,001個8組成的多位數888…88除以26的餘數是幾？
888,888÷26＝34,188，2,001÷6＝333……3，888÷26＝34……4，所以餘數是4。
7.
一個四位數被2除餘1，被3除餘2，被4除餘3，被5除餘4，被6除餘5，被7除餘6，被8除餘7，被9除餘8，被10除餘9，求出這樣的四位數。
這個四位數加上1後，能全部被除盡，而2、3……9、10的最小公倍數是2,520，所以該數是2,520×ｋ－1，而該數是四位數，只有當ｋ＝1、2、3時，即分別為2,519、5,039、7,559。
8.
一個數除以11所得的餘數是3，如果把這個數增加11後，除以13所得的商不變，且餘數為0，這個數是多少？
設被除數為ａ，商為ｂ，依題意得：ａ÷11＝ｂ……3，即ａ＝11ｂ＋3；…… (1)（ａ＋11）÷13＝ｂ，即13ｂ＝ａ＋11。……(2) 將(1)代入(2)得：13ｂ＝11ｂ＋14，ｂ＝7。所以ａ＝11ｂ＋3＝11×7＋3＝80。
9.
某數除1,186餘1，除2,609餘2，除4,263少3，這個數最大是多少？
（1,186－1）、（2,609－2）、（4,263＋3）一定能被某數整除。而2,607－1,185＝1,422＝2×3×3×79，4,266－2,607＝1,659＝3×7×79，所以這個數最大是3×79＝237。
10.
 ，ｎ被9除所得商的個位數是多少？
因為
 ，
所以9｜（ｎ－4）。又因為ｎ－4的個位數字是5，所以ｎ被9除所得商的個位數是5。
11.
能被5除盡，被715除餘10，被247除餘140，被391除餘245，被187除餘109的最小整數是多少？
能被715除餘10的數一定能被5除盡，可見第一句話是多餘的；因為原數是5的倍數，140也是5的倍數，所以由第三句話可直接導致該數被247×5＝1,235除餘數為140，同理，由第四句話知該數被391×5＝1,955除餘數為245。現在從被1,955除餘245，被1,235除餘140出發：245＋1,955ｎ＝2,200，4,155，6,110，8,065，10,020……；140＋1,235ｍ＝1,375，2,610，3,845，5,080，6,315，7,550，8,785，10,020，……。可發現10,020被1,955除餘245，被1,235除餘140，而且被187除餘109，所以10,020即為所求的最小整數。
12.
某商場向顧客發放9,999張購物券，每張購物券上印有一個四位數的號碼，從0,001到9,999號，如果號碼的前兩位數之和等於後兩位數之和，則稱這張購物券為「幸運券」。例如號碼0,734，因0＋7＝3＋4，所以這個號碼的購物券是幸運券。試說明，這個商場所發的購物券中，所有幸運券的號碼之和能被101整除。
顯然，號碼為9,999的是幸運券，除這張幸運券外，如果某個號碼ｎ是幸運券，那麼號碼ｍ＝9,999－ｎ的購物券也是幸運券，由於9,999是奇數，所以ｍ≠ｎ。由於ｍ＋ｎ＝9,999，相加時不出現進位，這就是說，除去號碼是9,999這張幸運券之外，其餘所有幸運券可全部兩兩配對，而每一對兩個號碼之和均為9,999，即所有幸運券號碼之和是9,999的倍數。因為9,999＝99×101，所以所有幸運券號碼之和能被101整除。
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內容取材自上海華東師範大學出版社《奧數教程》，現代教育研究社及華東師範大學出版社聯合出版。版權所有，不得翻印。
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