請先思考一下以下例題，然後按例題來顯示有關解說。
例1 求下列方程的整數解（ｘ＞0，ｙ＞0）。 （1）5ｘ＋10ｙ＝14 （2）11ｘ＋3ｙ＝89
求下列方程的整數解（ｘ＞0，ｙ＞0）。
（1）5ｘ＋10ｙ＝14
（2）11ｘ＋3ｙ＝89
解 （1）因為5與10有公因數5，而14無因數5，所以原方程無整數解。 如果不定方程ａｘ＋ｂｙ＝ｃ中，未知數前面的數ａ、數ｂ有大於1的公因數，而ｃ不能被這個公因數整除，那麼這個不定方程沒有整數解。 （2）原方程整理得： 。 因為ｘ和ｙ都是大於零的整數，11ｘ＜89，所以ｘ＜9。由上式得：
（1）因為5與10有公因數5，而14無因數5，所以原方程無整數解。
如果不定方程ａｘ＋ｂｙ＝ｃ中，未知數前面的數ａ、數ｂ有大於1的公因數，而ｃ不能被這個公因數整除，那麼這個不定方程沒有整數解。
（2）原方程整理得：
。
因為ｘ和ｙ都是大於零的整數，11ｘ＜89，所以ｘ＜9。由上式得：
例2 郵局買了助動車和自行車若干輛，共付出11,700元，已知每輛助動車2,500元，每輛自行車350元，問郵局買這兩種車各多少輛？
郵局買了助動車和自行車若干輛，共付出11,700元，已知每輛助動車2,500元，每輛自行車350元，問郵局買這兩種車各多少輛？
解 設買了ｘ輛助動車，ｙ輛自行車。由題意得： 解得
設買了ｘ輛助動車，ｙ輛自行車。由題意得：
解得
答 郵局買了3輛助動車和12輛自行車。
郵局買了3輛助動車和12輛自行車。
例3 有一根長5.8米的木料，現在要把它分割成每根長0.9米和0.4米的兩種規格，試寫出把木料分割成兩種規格，恰好沒有剩餘的所有分割法（損耗不計）。
有一根長5.8米的木料，現在要把它分割成每根長0.9米和0.4米的兩種規格，試寫出把木料分割成兩種規格，恰好沒有剩餘的所有分割法（損耗不計）。
解 設一根木料可分割0.9米長的ｘ段，0.4米長的ｙ段。由題意得： 解得：
設一根木料可分割0.9米長的ｘ段，0.4米長的ｙ段。由題意得：
解得：
答 可分割成0.9米長的2段，0.4米長的10段；或0.9米長的6段，0.4米長的1段。
可分割成0.9米長的2段，0.4米長的10段；或0.9米長的6段，0.4米長的1段。
例4 甲地有89噸貨物要運到乙地，大卡車的載重量是7噸，小卡車的載重量是4噸。大卡車運一趟耗油14升，小卡車運一趟耗油9升，運完這些貨物最少耗油多少升？
甲地有89噸貨物要運到乙地，大卡車的載重量是7噸，小卡車的載重量是4噸。大卡車運一趟耗油14升，小卡車運一趟耗油9升，運完這些貨物最少耗油多少升？
解 設大卡車運ｘ次，小卡車運ｙ次，由題意得： 7ｘ＋4ｙ＝89， 。 解得： 再算耗油量：14×3＋9×17＝195（升）， 14×7＋9×10＝188（升）， 14×11＋9×3＝181（升）。 顯然大卡車運11次，小卡車運3次，耗油最少。
設大卡車運ｘ次，小卡車運ｙ次，由題意得：
7ｘ＋4ｙ＝89，
再算耗油量：14×3＋9×17＝195（升），
14×7＋9×10＝188（升），
14×11＋9×3＝181（升）。
顯然大卡車運11次，小卡車運3次，耗油最少。
答 運完這些貨物最少耗油181升。
運完這些貨物最少耗油181升。
例5 甲、乙兩個自然數的乘積比甲數的平方小1,995，滿足此條件的自然數有多少組？
甲、乙兩個自然數的乘積比甲數的平方小1,995，滿足此條件的自然數有多少組？
解 根據題意得：甲×甲－甲×乙＝1995，即： 甲×（甲－乙）＝1995＝3×5×7×19。 顯然 甲＞甲－乙。 於是有： （1）甲＝3×5×7×19， 甲－乙＝1， 即 甲＝1,995， 乙＝1,994； （2）甲＝5×7×19， 甲－乙＝3， 即 甲＝665， 乙＝662； （3）甲＝3×7×19， 甲－乙＝5， 即 甲＝399， 乙＝394； （4）甲＝3×5×19， 甲－乙＝7， 即 甲＝285， 乙＝278； （5）甲＝3×5×7， 甲－乙＝19， 即 甲＝105， 乙＝86； （6）甲＝7×19， 甲－乙＝3×5， 即 甲＝133， 乙＝118； （7）甲＝5×19， 甲－乙＝3×7， 即 甲＝95， 乙＝74； （8）甲＝3×19， 甲－乙＝5×7， 即 甲＝57， 乙＝22。
根據題意得：甲×甲－甲×乙＝1995，即：
甲×（甲－乙）＝1995＝3×5×7×19。
顯然 甲＞甲－乙。
於是有：
（1）甲＝3×5×7×19， 甲－乙＝1，
即 甲＝1,995， 乙＝1,994；
（2）甲＝5×7×19， 甲－乙＝3，
即 甲＝665， 乙＝662；
（3）甲＝3×7×19， 甲－乙＝5，
即 甲＝399， 乙＝394；
（4）甲＝3×5×19， 甲－乙＝7，
即 甲＝285， 乙＝278；
（5）甲＝3×5×7， 甲－乙＝19，
即 甲＝105， 乙＝86；
（6）甲＝7×19， 甲－乙＝3×5，
即 甲＝133， 乙＝118；
（7）甲＝5×19， 甲－乙＝3×7，
即 甲＝95， 乙＝74；
（8）甲＝3×19， 甲－乙＝5×7，
即 甲＝57， 乙＝22。
答 滿足條件的自然數有8組。
滿足條件的自然數有8組。
例6 是一個三位數，由ａ、ｂ、ｃ三個數碼組成的另外五個三位數之和等於2,743。那麼，三位數是多少？
是一個三位數，由ａ、ｂ、ｃ三個數碼組成的另外五個三位數之和等於2,743。那麼，三位數是多少？
解 這六個三位數的和為222（ａ＋ｂ＋ｃ），則有： 2,743＜222（ａ＋ｂ＋ｃ）＜3,743， 即 12＜ａ＋ｂ＋ｃ＜17， 故 ａ＋ｂ＋ｃ取值只能是：13、14、15、16。 當ａ＋ｂ＋ｃ＝13時，222×13＝2,886，2,886－2,743＝143，1＋4＋3≠13，捨去。 經這樣檢驗：只有當ａ＋ｂ＋ｃ＝14時成立： 222×14＝3,108，3,108－2,743＝365，而3＋6＋5＝14，符合題意。
這六個三位數的和為222（ａ＋ｂ＋ｃ），則有：
2,743＜222（ａ＋ｂ＋ｃ）＜3,743，
即 12＜ａ＋ｂ＋ｃ＜17，
故 ａ＋ｂ＋ｃ取值只能是：13、14、15、16。
當ａ＋ｂ＋ｃ＝13時，222×13＝2,886，2,886－2,743＝143，1＋4＋3≠13，捨去。
經這樣檢驗：只有當ａ＋ｂ＋ｃ＝14時成立：
222×14＝3,108，3,108－2,743＝365，而3＋6＋5＝14，符合題意。
答 這個數是365。
這個數是365。
例7 有三張撲克牌，牌的數字各不相同，並且都在10以內，把三張牌洗好後，分別發給甲、乙、丙三人，每人記下自己牌的數字，再重新洗牌、發牌、記數。這樣反復幾次後，三人各自記錄的數字和分別是13、15、23。問這三張牌的數字是多少？
有三張撲克牌，牌的數字各不相同，並且都在10以內，把三張牌洗好後，分別發給甲、乙、丙三人，每人記下自己牌的數字，再重新洗牌、發牌、記數。這樣反復幾次後，三人各自記錄的數字和分別是13、15、23。問這三張牌的數字是多少？
解 設三張牌按照從大到小排列為ｘ、ｙ、ｚ，再設共發了ｎ輪（每輪發3張），ｘ＋ｙ＋ｚ＝S，則有： ｎ×S＝13＋15＋23＝51＝3×17， 只有ｎ＝3，S＝17。 ｘ＋ｙ＋ｚ＝17，則ｘ＞17÷3，所以ｘ可取的值為6、7、8、9。 當ｘ＝6時，ｙ＋ｚ＝11，而ｙ＋ｚ最多只能是9，所以不符合題意。 當ｘ＝7時，ｙ＋ｚ＝10，而只有ｙ＝6，ｚ＝4，但是丙三次牌數字之和是23，而23顯然不可能表示為（7，6，4）中任意三個數之和，故也不符合題意。 當ｘ＝8時，ｙ＋ｚ＝9，（ｙ，ｚ）可能情況有（7，2）、（6，3）、（5，4）。而13（甲的三次牌數字和）不能表示為（8，7，2）中任意三個數之和；23不能表示為（8，6，3）和（8，5，4）中任意三個數之和，故ｘ＝8也不符合題意。 當ｘ＝9時，ｙ＋ｚ＝8，經觀察ｙ＝5，ｚ＝3可成立。每人每次得牌如下：
設三張牌按照從大到小排列為ｘ、ｙ、ｚ，再設共發了ｎ輪（每輪發3張），ｘ＋ｙ＋ｚ＝S，則有：
ｎ×S＝13＋15＋23＝51＝3×17，
只有ｎ＝3，S＝17。
ｘ＋ｙ＋ｚ＝17，則ｘ＞17÷3，所以ｘ可取的值為6、7、8、9。
當ｘ＝6時，ｙ＋ｚ＝11，而ｙ＋ｚ最多只能是9，所以不符合題意。
當ｘ＝7時，ｙ＋ｚ＝10，而只有ｙ＝6，ｚ＝4，但是丙三次牌數字之和是23，而23顯然不可能表示為（7，6，4）中任意三個數之和，故也不符合題意。
當ｘ＝8時，ｙ＋ｚ＝9，（ｙ，ｚ）可能情況有（7，2）、（6，3）、（5，4）。而13（甲的三次牌數字和）不能表示為（8，7，2）中任意三個數之和；23不能表示為（8，6，3）和（8，5，4）中任意三個數之和，故ｘ＝8也不符合題意。
當ｘ＝9時，ｙ＋ｚ＝8，經觀察ｙ＝5，ｚ＝3可成立。每人每次得牌如下：
答 這三張牌的數字是3、5、9。
這三張牌的數字是3、5、9。
內容取材自上海華東師範大學出版社《奧數教程》，現代教育研究社及華東師範大學出版社聯合出版。版權所有，不得翻印。
