奧林匹克數學教材庫第四冊內容

十九、不定方程

四、測試題
作答時間：

試題： 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

11. 12. 13. 14. 15.

請按開始作答測試題，
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1.

用一元錢買回15張紀念郵票，其中既有4分的，也有8分的，還有1角的，求有幾種不同的買法。

設4分郵票買了ｘ張，8分郵票買了ｙ張，則10分郵票買了（15－ｘ－ｙ）張，於是有：4ｘ＋8ｙ＋10（15－ｘ－ｙ）＝100，整理得：3ｘ＋ｙ＝25。解得：經檢驗當ｘ≦5時，ｘ＋ｙ≧15，不合題意(即不能買齊三種郵票)。故本題只有3組解：4分8張，8分1張，1角6張；或4分7張，8分4張，1角4張；或4分6張，8分7張，1角2張。

2.

有104名男學員到工廠勞動。工廠的集體宿舍有兩種房間，一種房間可住12人，另一種房間可住5人，試求如何安排才能使全體學員都有住處，且使所住的房間都住滿？

設12人住的房間ｘ間，5人住的房間ｙ間，於是有12ｘ＋5ｙ＝104，解得所以有兩種分配方法。

3.

有甲、乙、丙三種貨物，若購甲10件、乙4件、丙1件共需420元，若購甲7件、乙3件、丙1件共需315元，現購甲、乙、丙各一件共需多少元？

設購甲、乙、丙一件各需ｘ元、ｙ元、ｚ元，由題意得：10ｘ＋4ｙ＋ｚ＝420，7ｘ＋3ｙ＋ｚ＝315。即3（3ｘ＋ｙ）＋（ｘ＋ｙ＋ｚ）＝420…(1)， 2（3ｘ＋ｙ）＋（ｘ＋ｙ＋ｚ）＝315…(2)。 (2) × 3－ (1) × 2得：ｘ＋ｙ＋ｚ＝315×3－420×2＝105。所以現購甲、乙、丙各一件共需105元。

4.

多位數是99的倍數，求ａ和ｂ的值。

設其中的兩位數為ｘ，由題意有：（ｘ，ｙ都是自然數），化簡得：。因ｘ，ｙ均為自然數，是必須是自然數，考慮到10ｘ＋57的個位數字是7，且10≦ｘ≦99，經試算知ｘ＝24。所以ａ＝2，ｂ＝4。

5.

有一個三位數，個位數字與十位數字的和的5倍加上十位數字與百位數字的和的3倍等於25與十位數字的和；同時又知，個位數字的3倍比十位數字與百位數字的6倍的和大2。求這個三位數。

設這個三位數為，則依題意有：5（ａ＋ｂ）＋3（ｂ＋ｃ）＝25＋ｂ，3ａ－（ｂ＋6ｃ）＝2。整理化簡得： 5ａ＋7ｂ＋3ｃ＝25， (1) 3ａ－ｂ－6ｃ＝2。(2) (1)×2＋(2)得：13ａ＋13ｂ＝52 即ａ＋ｂ＝4，有：代入 (2) 解ｃ，經檢驗僅當ａ＝3，ｂ＝1時，ｃ＝1符合要求，所求三位數是113。

6.

一個兩位數，各位數字和的5倍比原數大6，這個兩位數是多少？

設這個兩位數是，則。整理得：10ｘ＋ｙ＋6＝5ｘ＋5ｙ，，其中ｘ、ｙ為自然數，且0≦ｙ≦9。所以ｙ＝4，ｘ＝2或者ｙ＝9，ｘ＝6，所求的兩位數為24或69。

7.

某次書法比賽準備了35枝毛筆作為獎品，原計劃一等獎每人發7枝，二等獎每人發4枝，三等獎每人發2枝。後來改為一、二、三等獎每人各發9枝、5枝、1枝。問獲一、二、三等獎的學生分別有幾人？

設獲一、二、三等獎分別有ｘ、ｙ、ｚ人，則有7ｘ＋4ｙ＋2ｚ＝35… (1)，

9ｘ＋5ｙ＋ｚ＝35…(2)。(2)×2－(1)得：11ｘ＋6ｙ＝35。(3) 由(3) 得：ｘ＝1，ｙ＝4，並代入(2)得ｚ＝6，所以獲一、二、三等獎的人分別有1人、4人、6人。

8.

工程隊要鋪設87米長的地下管道，倉庫中有3米長和5米長兩種管子，問可以有幾種不同的取法？

設3米和5米的管子分別需ｘ根和ｙ根，則有3ｘ＋5ｙ＝87，顯然式中有整數解：ｘ＝29，ｙ＝0，那麼它的所有整數解可表示：ｘ＝29－5ｔ，ｙ＝3ｔ（ｔ為任意整數）。容易看出：當ｔ＝0、1、2、3、4、5時，可得出6組符合題意的解。所以有6種不同的取法。

9.

袋中有三種球，分別標有數字2、3和5，小華從中摸出14個球，它們的數字之和為53。小華最多摸出數字3的球有多少個？

設摸出標有數字2、3、5的球分別為ｘ、ｙ、ｚ個。於是有：ｘ＋ｙ＋ｚ＝14… (1)，2ｘ＋3ｙ＋5ｚ＝53…(2)。(1)×5－(2)得：3ｘ＋2ｙ＝17，2ｙ＝17－3ｘ。可以看出當ｘ最小時，ｙ最大。ｘ最小可取1，ｙ最大值是7，所以小華最多摸出標有數字3的球7個。

10.

一個三位數除以19所得的商等於這個三位數各位數碼的和，這種三位數有多少個？

設這個三位數為，ａ、ｂ、ｃ均為0～9的整數，且ａ≠0，於是：19（ａ＋ｂ＋ｃ）＝100ａ＋10ｂ＋ｃ，即：81ａ＝9ｂ＋18ｃ， 9ａ＝ｂ＋2ｃ。把ｂ＝0、1、2、3 …9分十種情況討論，可得此方程的11個解。這11個解組成以下11個三位數：114，133，152，171，190，209，228，247，266，285，399。

11.

一個三位數除以17所得的商等於這個三位數各數字之和。求這個三位數。

設這個三位數為，ａ、ｂ、ｃ均為0～9的整數，且ａ≠0，於是：17（ａ＋ｂ＋ｃ）＝100ａ＋10ｂ＋ｃ，化簡得：83ａ＝7ｂ＋16ｃ，當ａ＝1，ｂ＝5，ｃ＝3是本題的唯一解。所求三位數是153。

12.

商店的白糖有4公斤、3公斤和1公斤三種不同包裝，一位顧客要買15公斤白糖。問：給這位顧客的白糖可以用多少種不同的方式？

設給顧客4公斤、3公斤、1千克的分別為ｘ、ｙ、ｚ包，則有：4ｘ＋3ｙ＋ｚ＝15，ｘ所有可能取值為0、1、2、3；將ｘ＝0、1、2、3代入上式，分別得到6、4、3、2組解。因此共有6＋4＋3＋2＝15(種)付給的方式。

13.

兩個自然數，一個除以11，一個除以1991，商的和正好等於1，問有多少種可能？

設兩個正整數是ａ和ｂ，由題意有：。化簡得181ａ＋ｂ＝1,991，ｂ應是181的倍數，設，則，都是正整數，有10組解，它們均滿足題意。故有10種可能。

14.

今有三部自動換幣機，其中第一部總是將一枚硬幣換成2枚其他硬幣，第二部總是將一枚硬幣換成4枚其他硬幣，而第三部總是將一枚硬幣換成10枚其他硬幣，某人共進行了12次換幣，便將一枚硬幣換成了81枚，試問他在第一部換幣機上換了幾次，在第三部換幣機上換了幾次？

設在第一部、第二部、第三部換幣機上分別換了ｘ、ｙ、ｚ次硬幣，則有ｘ＋ｙ＋ｚ＝12。另一方面，每當在第一部機器上換一次可使硬幣增加一枚，相應地，每當在另外兩部機器上換一次，可使硬幣分別增加3枚和9枚，因此有：ｘ＋3ｙ＋9ｚ＝80，解得：ｘ＝ｙ＝2，ｚ＝8。

15.

某旅館的一座樓每層都有10套房間，房間自第一層開始依次編為1、2…10號，並逐層依次續編下去（第二層的房號為11、12…20，如此等等），現知老王和老張都住在該樓內，老王的層號剛好等於老張的房號，而他們的房號之和等於239，老王的房號是多少？

設老王的層號為ｘ，則他的房號必為10（ｘ－1）＋ｙ的形式，其中1≦ｙ≦10，並且老張的房號就是ｘ，因此10（ｘ－1）＋ｙ＋ｘ＝239，即11ｘ＝249－ｙ。從而（249－ｙ）必為11的倍數，由於1≦ｙ≦10，所以必有249－ｙ＝242，這樣一來，就有ｙ＝7，ｘ＝22，因此，老王的房號是10×（22－1）＋7＝217。

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