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四、測試題
作答時間：
請按開始作答測試題，
完成後按「提交試卷」來評核學習成果。
1.
5個人排成一隊，甲不能當排頭，乙不能當排尾，共有多少種不同的排法？
5個人任意排隊共有5×4×3×2×1＝120（種）排法。當甲排在頭或乙排在尾時共有（4×3×2×1）×2－3×2×1＝42（種），所以符合條件的排法共有120－42＝78（種）。
2.
有6張卡片，分別寫有2、3、4、5、6、7，現在從中取出3張卡片，並排放在一起，形成一個三位數，那麼共有多少個不同的三位奇數？
符合條件的三位數的個位上數字必需是3、5、7，所以個位數字有3種取法；百位、十位可從餘下的數字中選取，分別有5和4種，所以共有5×4×3＝60（個）不同的三位奇數。
3.
用一角幣、二角幣、五角幣各一張，一元幣三張，五元幣兩張，可組成多少種不需找錢的不同幣值？
共有五種不同的幣值，一角幣、二角幣、五角幣各有拿與不拿兩種情況；一元幣有不拿與拿1張、2張、3張這4種拿法，同樣五元幣有3種拿法，所以共可以組成2×2×2×4×3－1＝95（種）不同的幣值，其中要減去這五種幣一種也不拿的這一種。
4.
自然數1，2，3，4，…， 1,001中，所有數碼之和是多少？
1∼999，可採用配對方法求數碼和，（0，999），（1，998），（2，997），（3，996），…，（499，500），每對數的數碼和是27，共有500對，所以數碼和為27×500＝13,500；再加上1,000與1,001的數碼和3，所以1∼1,001所有數碼之和是13,500＋3＝13,503。
5.
一些四位數，其四個數位上的數字互不相等且都不是0，若四位數上的數字的和為15，則這樣的四位數共有多少個？
15＝1＋2＋3＋9＝1＋2＋4＋8＝1＋2＋5＋7＝1＋3＋4＋7＝1＋3＋5＋6＝2＋3＋4＋6，由4個不同的非0數字共可以組成4×3×2×1＝24（個）不同四位數，這樣共可以組成6×24＝144（個）符合題目要求的四位數。
6.
從1，2，3，4，…，100這100個數中，每次取出兩個數，使其和大於100，共有幾種取法？
對於取出的A、B兩數：
A＝1， B可取100 1種取法；
A＝2， B可取100、99 2種取法；
A＝3， B可取100、99、98 3種取法；
……… ………………………
A＝50， B可取100，99…51 50種取法；
A＝51， B可取100、99…52 49種取法；
……… ………………………
A＝99， B可取100 1種取法。
所以共有 種不同的取法。
7.
用四種不同的顏色給圖中A、B、C、D四個小矩形塗色。要求有相鄰邊的兩個矩形不得塗相同的顏色（無相鄰邊的小矩形A、D與B、C之間可以同色），問共有多少種塗色的方法？
若A、D不同色，那麼A有4種不同的塗色方法，D有3種不同的塗色方法，B、C各有2種不同的塗色方法，這樣共有4×3×2×2＝48（種）不同的塗色方法。若A、D同色，那麼A、D有4種塗色方法，B、C各有3種不同塗色方法，所以共有4×3×3＝36（種）不同的塗色方法。綜合上述兩種情況，共有48＋36＝84（種）不同的塗色方法。
8.
在2、3、4、5、6這五個數字中，取出三個數字組成三位數，這樣的三位數可以有很多個，如果把這些三位數從大到小排列起來，請你想一想，這串數中第51個數除以6的餘數是多少？
百位上是6、5、4、3的三位數共有12×4＝48（個），所以第49個數是265，第50個數是264，第51個數是263.263÷6＝43……5。所以這串數中第51個數除以6的餘數是5。
9.
某鐵路線上，原有7個車站（包括起點站和終點站），現在新增加了3個車站，鐵路上兩站之間往返的車票都不一樣，這樣需要增加多少種不同的車票？
原來有7個車站，需要7×6＝42（種）車票，現在增加了3個車站後有10個車站，需要10×9＝90（種）車票，增加了90－42＝48（種）車票。
10.
從分別寫有1、3、5、7、9的五張卡片中任取兩張，作成一道兩個一位數的乘法題，問：
（1）有多少個不同乘積？
（2）有多少個不同的乘法算式？
11.
在10名學生中間選一個3人代表隊參加數學競賽的決賽，使得學生A和B中至少有一個必須是代表隊成員，共有多少種選法？
若只有A或B參加那麼共有：2×8×7÷2＝56（種），若A、B都參加的有8種。所以共有56＋8＝64（種）選法。
12.
用2、3、4、5這四個數可組成許多沒有重複數字的四位數，所有這些四位數的和是多少？
13.
一排房有四個房間，在四個房間中住著甲、乙、丙三人，規定每個房間只許住一人，並且只允許兩個人住的房間挨在一起，第三個人的房間必須和前兩個人隔開，有多少種不同的住法？
房間如下編號(1)(2)(3)(4)；三人只能住在(1)、(2)、(4)號房間或(1)、(3)、(4)號房間，所以有2×3×2×1＝12（種）住法。
14.
獻愛心小組的一次集會，參加會的人每兩人握手一次，共握手36次，這個小組共有多少人？
設這個小組共有ｎ＋1個人。ｎ（ｎ＋1）＝36×2，ｎ＝8，所以這個小組共有9個人。
15.
七個相同的球，放入四個不同的盒子裏，每個盒子至少放一個，不同的放法有多少種？
每個盒子中放一個，餘下3個。若把餘下的3個放在一個盒子中，有4種放法；若把餘下的3個分成2和1放在兩個盒子中，有12種放法；若把餘下的3個分成1、1和1放在三個盒子中，有4種放法；所以共有4＋12＋4＝20（種）不同的放法。
16.
甲、乙、丙、丁四人各有一本作業本混放在一起，四人每人隨便拿一本。問：
（1）甲拿到自己作業本的拿法有多少種？
（2）只有一人拿到自己作業本的拿法有多少種？
（3）至少有一人沒有拿到自己作業本的拿法有多少種？
（4）誰也沒有拿到自己作業本的拿法有多少種？
（1）3×2×1＝6（種） （2）若甲拿到自己的作業本，另外三人只有2種不同的拿法。所以有4×2＝8（種）。 （3）四人隨意拿作業本，共有4×3×2×1＝24（種）不同的拿法，去掉其中一種每人都拿到自己作業本的情況所以共有24－1＝23（種）情況。 （4）第一人去拿只有3種拿法，被第一個拿掉本子的人去拿也有3種拿法，剩下兩人只有唯一一種拿法。所以共有3×3＝9（種）拿法。
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內容取材自上海華東師範大學出版社《奧數教程》，現代教育研究社及華東師範大學出版社聯合出版。版權所有，不得翻印。
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